關于{x-p}的分布.pdf

1、本文第一部分研究了{x/p}的分布. 設{an}是數(shù)列，0≤α＜β＜1為固定正常數(shù).以T(α，β，N)記集合{1≤n≤N：α≤{an}＜β}的元素個數(shù)，{u}表示實數(shù)u的小數(shù)部分.若Nlim∞T(α,β,N)/N=β-α則稱{αn}是模1一致分布的(uniformlydistributedmodulo1).注意到數(shù)列是否模1一致分布與α，β的取值無關.由此我們知道，當α是無理數(shù)時的{αn}和數(shù)列{αp}是模1一致分布的：當α不是

2、整數(shù)時，{nα}和{pα}也是模1一致分布的；對固定的充分大的x，當n≤x1-ε時，{x/n}也是模1一致分布的. 模1一致分布問題在數(shù)論中占有重要地位，許多數(shù)論經(jīng)典問題都與之有關.我們知道，Dirichlet除數(shù)問題的余項可表示為△(x)=x1/2-2∑1≤u≤x1/2{x/u}+O(1).從而促使人們對{x/n}的分布進行研究. 設x是充分大的正數(shù)，α和R為實數(shù)，0≤α＜1，1≤R＜x.以N(x，R，α)表示滿足α≤

3、{x/n}＜α+R/n的自然數(shù)的個數(shù).王煒[11]證明了：設(κ，λ)是任意指數(shù)對，當R≥xλ+k/2λ+1時，N(x，R，α)＜＜Rxε對α一致成立；用同樣的方法，他證明了N(x，1，α)＜＜x1/2-1/156+ε對α一致成立.Varbanec[9]實質(zhì)上證明了N(x，1，α)＜＜(1+(αx)1/2)xε，其中α=q/p為有理數(shù).翟文廣對此進行了改進，他得到： (1)設R＜(1-α)x，R=o(x)，則當xλ+κ/2+2κ

4、logx＜R＜(1-α)2x/logx時，有漸近公式N(x，R，α)=Rlog(1-α)x/R+d(α)R+O(xλ+κ/2+2κlogx)+O(R2logx/x(1-α)).其中(κ，λ)是任意指數(shù)對，d(α)=γ+∞∑l=11-α/(l+1)(l+α)，γ為Euler常數(shù). (2)設R＞(1-α)x.則當(1-α)x＞xλ+κ/2+2κlogx時，有漸近公式N(x,R,α)x∞∑l=11-α/(l+1)(l+α)+O(xλ+

5、κ/2+2κlogx),(κ，λ)是任意指數(shù)對. (3)對任一指數(shù)對(κ，λ)，當R＜xλ+κ/2+2κ時，對α一致地有N(x，R，α)＜＜xλ+κ/2+2κ+ε. (4)N(x，1，α)＜＜x1/4+ε對α一致成立. 另一方面，Saffari和Vaughan[8]在1977年研究了和式θx,y=y-1∑p≤y(logp)cα(x/p),其中當0≤{u}＜α時，cα(u)=1；否則cα(u)=0.這實際上是研究了

6、滿足不等式0≤{x/p}＜α的素數(shù)p的個數(shù)的加權形式。他們利用零點密度估計得到：對()ε＞0，當x6/11+ε＜y≤x時，有如下的漸近公式：θx，y(α)=F(α，x/y)+O(exp(-c(ε)(logx/loglogx)1/3))，其中c(ε)是至多與ε有關的正數(shù)，F(xiàn)(α，x/y)有定義。此處的y的下界很大，即使是在Riemannzeta-函數(shù)的零點密度估計猜想成立的假設之下，指數(shù)6/11也只能被改進到1/2. 本文得到了兩

7、個主要結果：定理1.1當x32/47＜R＜x1-ε時，我們有：N(x，R,α)=∑n≤xα≤{x/n}＜α+R/n∧(n)=Rlogx(1-α/R)+c(α)R+O(Rexp(-Cη(R)))，(3)其中C是絕對正常數(shù)，c(α)=γ+1-∞∑l=1α/l(l+α),η(x)=(1ogx)3/5(1oglogx)-1/5. 定理1.2設是任意小的固定正常數(shù).當xε＜＜y＜x時，有漸近公式：θx,y(α)=y-1∑p≤y(lop)c

8、α(x/p)=F(α，x/y)+O(exp(-c(ε)(logx/loglogx)1/3))，(4)其中F(α，x/y)，c(ε)同上文中的定義. 論文第二部分考慮平方補數(shù)問題與除數(shù)問題. 除數(shù)問題一直是解析數(shù)論的熱點問題.本文研究平方補數(shù)列中的除數(shù)問題. 設n為自然數(shù)，定義{a(n)}：=min{κ|n+k=m2，κ≥0，m∈N+}，這是F.Smarandache[3]的問題27中定義的數(shù)列{a2(n)}的類似

9、.我們稱a(n)為平方補函數(shù)(additivesquarecomple-ments). 徐哲峰[4]研究了和式∑n≤xd(a(n))并得到了其漸近公式，這里d(n)表示Dirichlet除數(shù)函數(shù).易媛等[5]研究了和式∑n≤xd(n+a(n))并證明了∑d(n+a(n))=3/4π2xlog2x+A1xlogx+A2x+O(x3/4+ε)，其中A1，A2為常數(shù)，ε為任意小的正數(shù). 本文證明兩個主要結論：定理2.1我們有漸

10、近公式∑n≤xd(n+a(n))=3/4π2xlog2x+A1xlogx+A2x+O(xiexp(-Cη(x)))，其中C＞0為絕對常數(shù)，η(x)：=(1ogx)3/5(1oglogx)-1/5. 上式的余項估計是目前的最好結果.若想進一步改進常數(shù)3/4，就必須對RiemannZeta-函數(shù)的零點分布有更多的了解.比如，在Riemann假設成立的情況下，可以進一步改進3/4. 然而，不附加任何條件，我們可以證明下面的小區(qū)