基于小波的積分微分方程的數(shù)值解.pdf

1、小波分析是一門新興理論,由于它具有時(shí)-頻局部化特點(diǎn)和多尺度特性,所以被廣泛地應(yīng)用于各種領(lǐng)域。小波分析是Foureri分析的發(fā)展和完善,小波分析的發(fā)展是以解決實(shí)際問題應(yīng)用為出發(fā)點(diǎn),而后上升到輻射多學(xué)科的理論,所以小波分析一次又一次形成研究熱潮,成為國(guó)際研究熱點(diǎn).小波變換克服了傳統(tǒng)Fourier變換的不足,在時(shí)域和頻域都具有良好的局部化特性,小波在數(shù)值分析、信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價(jià)值。由于對(duì)高頻成分采用逐漸精細(xì)的時(shí)域或頻域取樣

2、步長(zhǎng),從而可以聚焦到對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。從這個(gè)意義上講,它被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡,可以預(yù)料在以后將成為科技工作者經(jīng)常使用的重要的數(shù)學(xué)工具。 小波分析是二十世紀(jì)九十年代出現(xiàn)的一門新的數(shù)學(xué)方法,是數(shù)學(xué)的重要分支,是繼Fourier分析之后的一個(gè)突破性進(jìn)展,是目前應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的研究領(lǐng)域,它具有豐富的數(shù)學(xué)理論,應(yīng)用十分廣泛,是工程應(yīng)用中強(qiáng)有力的方法和工具,給許多相關(guān)領(lǐng)域帶來了嶄新的思想,并使其被越來越多數(shù)學(xué)研究工作者所關(guān)注。由于小波兼有

3、光滑性和局部緊支撐性質(zhì),與傳統(tǒng)的有限元、有限差分方法比較,能更好的處理積分和微分方程的數(shù)值求解問題。尺度函數(shù)與小波的構(gòu)造對(duì)小波分析理論和應(yīng)用的研究都具有重要的意義.本文詳細(xì)闡述了小波理論的基本知識(shí),首先詳細(xì)介紹多分辨率分析的基本性質(zhì),并通過分析和討論得到多分辨率分析本質(zhì)的特征,給出了多分辨率分析的簡(jiǎn)潔定義。 微分方程,積分方程及積分一微分方程出現(xiàn)在自然科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中并且占有重要的地位.如何解積分(微分)方程(這是問題的關(guān)鍵.對(duì)于具

4、體的積分(微分)方程(組),除非極為特殊的情形,很難求出它的精確解,因此數(shù)值解或近似解受到了眾多研究者的極大關(guān)注.本文我們研究了小波分析在積分和微分方程中的應(yīng)用。 全文共分四章： 第一章介紹了小波分析的基礎(chǔ)理論.包括小波和小波變換的定義、性質(zhì),一維、二維多尺度分析和小波基,還有小波的一些應(yīng)用。最后簡(jiǎn)單介紹了一下積分和微分方程的發(fā)展及研究現(xiàn)狀。 第二章提出了第一類Fredholm積分方程的的改進(jìn)算法--線性Lege

5、ndre多小波-Galerkin方法,用正交小波基把積分方程離散化為線性方程組,再對(duì)線性方程組迭代求解。由于小波的正交性稀疏了系數(shù)矩陣,使得本文提出的改進(jìn)方法計(jì)算量更少,而解的精度幾乎不受影響。并且,我們給出了二個(gè)數(shù)值計(jì)算例子,給出的二個(gè)數(shù)值例子的計(jì)算結(jié)果表明了我們利用的小波基是穩(wěn)定的而且也說明了采用的多小波-Galerkin方法可以通過較少的運(yùn)算得到較精確的計(jì)算結(jié)果。 第三章研究了線性Fredholm積分-微分方程的數(shù)值解問題

6、,在這章里,我們推導(dǎo)出了CAS小波的積分矩陣算子P,并給出了P的一般形式,通過CAS小波的正交性和積分矩陣算子P把Fredholm積分微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性代數(shù)方程問題,最后通過數(shù)值算例的計(jì)算結(jié)果表明,我們利用的小波基是穩(wěn)定的,并且得到較精確的計(jì)算結(jié)果。 第四章我們用變分迭代法求解了n階積分微分方程的數(shù)值解問題,通過變換把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為常微分積分方程組問題,再利用我們推導(dǎo)的變分迭代公式有效的求解了這個(gè)問題,最后通過數(shù)值算例的計(jì)算