不可壓縮非牛頓流體動力學方程組弱解的漸近性.pdf

1、粘性不可壓縮流體動力學的數(shù)學理論自從J.Leray[5]在1934年的開創(chuàng)性工作以來,引起了許多數(shù)學家和物理學家的關(guān)注.對于一些粘性流體,諸如像空氣或其它氣體,水,酒精和一些簡單的碳氫化合物等,物理試驗表明這類流體的運動可以用Stokes定律來描述,也就是說,粘性應(yīng)力張量τ<'υ>線性依賴于速度變形張量e(u),描述這類流體運動的方程就稱為Navier-Stokes方程.然而有許多流體,例如油漆,橡膠,聚合物溶液以及一些生物流體如血液等

2、等,物理試驗表明這類流體的運動不滿足Stokes定律,即其本構(gòu)關(guān)系是非線性的,這類其運動不滿足Stokes定律的流體就稱之為非牛頓流體,而且如果粘性應(yīng)力張量依賴于速度場的一階(或二階)導數(shù),則相應(yīng)的非牛頓流體稱為單極(或雙極)流體.關(guān)于粘性不可壓縮流體的數(shù)學理論,有大量的文獻來研究其適定性和長時間性態(tài)[1]-[71].最近,Necǎsová等[69]利用Fourier分解方法研究了單極非牛頓流體弱解的L<'2>衰減性,然而由于沒有精確估

3、計高粘性項▽·(|e(u)|<'p-2>e(u)),他們只得到了當初速度u<,0>∈L<'2>∩ L<'1>時,弱解u(x,t)在L<'2>范數(shù)下衰減率分別為ln<'-m>(1+t)(二維情形)和(1+t)<'-1/4>(三維情形).關(guān)于雙極非牛頓流體,Guo和Zhu[71]利用Fourier分解方法也討論了弱解的L<'2>衰減,由于他們沒有考慮到低耗散項△u的影響,因此弱解在L<'2>范數(shù)下的衰減率只能達到(1+t)<'-n/4(1/

4、r-1/2)>.本文也是討論關(guān)于單極流體和雙極流體弱解的時間衰減性.我們首先利用Stokes算子的譜理論來討論單極流體的衰減率.由于Stokes算子在L<'p>(R<'n>)(1-L<'q>衰減估計,得到了當初速度u0∈L<'2>時,‖u(t)‖<'2> → 0(t→∞);當u<,0>∈L<'2>∩