關(guān)于時(shí)間尺度上幾類(lèi)積分不等式和動(dòng)力方程解的定性分析.pdf

1、對(duì)于許多微分方程、差分方程以及關(guān)于時(shí)間尺度上的動(dòng)力方程,如果不能得到其精確解,則對(duì)其解的定性分析如有界性、唯一性、對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性等將顯得比較重要。Gronwall-Bellman型不等式在對(duì)解的有界性、唯一性、對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性研究方面起著不可替代的作用。對(duì)該類(lèi)不等式,已有不少研究成果,但注意到目前對(duì)關(guān)于時(shí)間尺度上的Gronwall-Bellman型不等式以及關(guān)于不連續(xù)函數(shù)的Gronwall-Bellman型不等式的研究

2、成果并不十分豐富。
　　對(duì)微分方程解的振動(dòng)性和漸近性研究,近幾十年來(lái)出現(xiàn)了大量研究成果,但這些研究成果大都是針對(duì)整數(shù)階微分方程的,而關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的振動(dòng)性研究成果鮮見(jiàn)報(bào)道,同時(shí)對(duì)時(shí)間尺度上三階帶阻尼項(xiàng)的動(dòng)力方程解振動(dòng)性和漸近性的研究也相對(duì)較少。
　　此外,對(duì)某些具有特定形式的微分方程,可以求得其精確解。目前,出現(xiàn)了大量針對(duì)微分方程精確解求解的方法,如 Exp函數(shù)方法,Jacobi橢圓函數(shù)方法,齊次平衡法等。但對(duì)微分-差分

3、方程精確解的研究成果并不十分豐富,有待于進(jìn)一步研究。
　　基于以上分析,本論文將做如下幾個(gè)方面的研究。第一章討論了總的研究背景,并給出了時(shí)間尺度理論的一些重要的定義和定理,第二章主要研究了幾類(lèi)時(shí)間尺度上Gronwall-Bellman-Volterra-Fredholm型不等式、時(shí)間尺度上非線性 Gronwall-Bellman型延時(shí)積分不等式、時(shí)間尺度上非線性 Pachpatte型延時(shí)積分不等式,基于這幾類(lèi)不等式,推導(dǎo)并建立了未

4、知函數(shù)的界,并在此基礎(chǔ)上研究了一些具有特定形式的動(dòng)力方程解的定性性質(zhì)。這些結(jié)論一方面比文獻(xiàn)中已有的Gronwall-Bellman型積分不等式或離散不等式具有更一般的意義,另一方面也統(tǒng)一了連續(xù)和離散的分析。第三章主要利用時(shí)間尺度理論,并結(jié)合利用廣義 Riccati技巧、不等式技巧和積分平均技巧研究了時(shí)間尺度上帶阻尼項(xiàng)的三階動(dòng)力方程和三階延時(shí)泛函動(dòng)力方程解的振動(dòng)性和漸近性,得出了一些新的解振動(dòng)和漸近的充分條件,并給出了相關(guān)的例子;關(guān)鍵之處

5、在于對(duì)阻尼項(xiàng)的處理用到了時(shí)間尺度上的指數(shù)函數(shù)。第四章主要利用廣義 Riccati技巧并結(jié)合不等式技巧和積分平均技巧研究了幾類(lèi)帶阻尼項(xiàng)和不帶阻尼項(xiàng)的含右邊 Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程解的振動(dòng)性,得到了一些新的振動(dòng)規(guī)則,并給出了相關(guān)的例子。第五章主要建立了一些不連續(xù)函數(shù)情形下的Gronwall-Bellman型積分不等式,并將它們應(yīng)用于某些具有特定形式的關(guān)于不連續(xù)函數(shù)的微分或積分方程解的有界性分析,所建立的各種不等式推廣了文獻(xiàn)中