環(huán)與半群的圖結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu).pdf

1、零因子圖是近年來一個新的研究領(lǐng)域,主要研究環(huán)與半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與其零因子圖的圖結(jié)構(gòu)、圖性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.本論文主要是利用零因子圖來研究交換半群及交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)性質(zhì),主要探討星圖加細(xì),以及不包含四邊形的零因子圖對應(yīng)的交換半群、有限交換環(huán)的結(jié)構(gòu)及其同構(gòu)分類.對于中心為c的星圖加細(xì)G,我們用G*c來表示由頂點集V(G)＼{c以及與c相連的端點}生成的子圖.
　　 全文共分以下幾個部分,具體內(nèi)容如下:
　　 第零章

2、是緒論,介紹了零因子圖的產(chǎn)生背景和已有的研究成果,并簡要介紹了本文的主要結(jié)果.
　　 第一章主要討論由星圖加細(xì)確定的冪零半群的代數(shù)性質(zhì),并回答了我們曾在文獻(xiàn)[1]中提出的一個公開問題:什么樣的圖范疇()具有如下的性質(zhì)s對于任意的G∈(),存在唯一的冪零半群S滿足Г(S)≌G?其中Sn={0},Sn-1≠{0}.對于任意的有限正整數(shù)n≥5,構(gòu)造了一個唯一的冪零半群S滿足Г(S)是有唯一中心的星圖加細(xì)且Г(S)＼T的生成子圖是K1,

3、n-3,其中Sn={0},Sn-1≠{0},T是與中心相連的所有端點的集合.
　　 第二章和第三章主要研究有限局部環(huán)的同構(gòu)分類.局部環(huán)的同構(gòu)分類一直是代數(shù)學(xué)里一個重要的研究課題.我們在這兩章的研究運用的是一種與以往不同的思路,即利用Г(R)的圖論性質(zhì)來確定環(huán)R的結(jié)構(gòu),并進(jìn)一步研究環(huán)的同構(gòu)分類問題.D.F.Anderson和P.S.Livingston[2]證明了有限局部環(huán)的零因子圖是星圖加細(xì),并且有限真星圖加細(xì)對應(yīng)的交換環(huán)一定是

4、有限局部環(huán).這是我們研究的出發(fā)點.對于中心為c的真星圖加細(xì)Г(R),只有兩種情況。即Г(R)*c至少有兩個連通分支、或者Г(R)*c是單連通.當(dāng)Г(R)*c少有兩個連通分支時,第二章證明了RZ(R)是由兩個元素α1,α2生成的,其中α1,α2分別包含在Г(R)*c的兩個不同的連通分支內(nèi)(定理2.3.3).基于這一結(jié)論,證明了R是有限局部環(huán),并確定了環(huán)R的結(jié)構(gòu)及其同構(gòu)分類.余下的問題是單連通的情況,我們引進(jìn)c-局部環(huán)的概念并證明了對于c-

5、局部環(huán),當(dāng)Г(R)*c是單連通時,diam(Г(R)*c)=2(定理2.3.9).進(jìn)一步地,第三章證明了對于任意的有限c-局部環(huán)R,極大理想Z(R)一定有一個極小生成元集具有c-劃分(定理3.2.6).借助于該結(jié)論,得到了有限c-局部環(huán)的結(jié)構(gòu)定理和同構(gòu)分類.
　　 第四章回答了盧丹誠博士和武同鎖教授[3]提出的一個公開問題:如何刻畫不包含四邊形的零因子圖?我們給出了不包含四邊形的零因子圖的完全分類,即不包含四邊形的零因子圖為下述