從Rosochatius型可積系統(tǒng)到孤子方程.pdf

1、本文研究連續(xù)與離散的Rosochatius型有限維可積系統(tǒng)的構(gòu)造,拉直與求解,并揭示它們與孤子方程的關(guān)系.主要利用代數(shù)曲線的工具以及母函數(shù)的技術(shù).
　　 對(duì)于連續(xù)情形,具體研究了Neumann-Rosochatius系統(tǒng)與Garnier-Rosochatius系統(tǒng).大致思路和結(jié)果如下:首先,從變形的Lax矩陣出發(fā),借助于母函數(shù)的技術(shù),構(gòu)造了相應(yīng)的Rosochatius類型的Hamilton系統(tǒng)族.接著對(duì)這族Rosochatius

2、型Hamilton系統(tǒng)進(jìn)行“批處理”,通過(guò)引入代數(shù)曲線與Abel-Jacobi坐標(biāo),一舉將整族Rosochatius流拉直,用準(zhǔn)確無(wú)誤的線性無(wú)關(guān)性證明了守恒積分的函數(shù)獨(dú)立性.從而證明了整族Rosochatius系統(tǒng)的Liouville完全可積性.與此同時(shí),也獲得了該族系統(tǒng)的直接求積-獲得了Rosochatius型可積系統(tǒng)在Jacobi簇上的線性形式解.最后,揭示了Rosochatius型可積系統(tǒng)與KdV方程的關(guān)系,即它們構(gòu)成了KdV方程

3、的一個(gè)新的可積分解.在此基礎(chǔ)上,根據(jù)兩個(gè)Rosochatius流的相容解,獲得了KdV方程的擬周期解.
　　 對(duì)于離散情形,我們提出并研究了辛映射的Rosochatius變形.我們給出了一個(gè)構(gòu)造辛映射的Rosochatius變形的方法.通過(guò)該方法,獲得了Toda辛映射,Volterra辛映射,以及Ablowitz-Ladik辛映射的Rosochatius變形.并且找到了它們的Lax表示,進(jìn)而用r-矩陣方法證明了它們的可積性.不僅