復(fù)雜介質(zhì)的散射問題及其數(shù)值解.pdf

1、我們研究一類無界域上的Helmholtz方程邊值問題及其反問題，物理上對(duì)應(yīng)于介質(zhì)對(duì)波場的散射，包括正散射與逆散射.根據(jù)散射體的特性，散射現(xiàn)象可以分為簡單散射和復(fù)雜散射.簡單散射是指均勻背景介質(zhì)中的sound-soft或sound-hard不可穿透的障礙體散射等經(jīng)典的散射現(xiàn)象，而對(duì)予多障礙體散射、邊界帶有涂層的散射以及分層介質(zhì)中的障礙體散射等具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)或者復(fù)雜物理性質(zhì)的散射，通常稱之為復(fù)雜散射.對(duì)于簡單散射問題，已經(jīng)有了很多研究工作

2、.本文從三個(gè)方面對(duì)復(fù)雜介質(zhì)的教射問題展開研究，包括對(duì)帶有阻尼邊界條件的散射體、多個(gè)散射體的散射和分層介質(zhì)中的散射體的教射現(xiàn)象的研究.第一部分研究基于Dirichlet-to-Neumann(D-to-N)映射的探測方法對(duì)重建帶有阻尼邊界條件的散射體的問題;第二部分研究從遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)重構(gòu)邊界阻尼系數(shù);第三部分研究兩類復(fù)雜散射正問題，即多障礙體散射以及分層介質(zhì)中的障礙體散射.
　　 首先，考慮用基于D-to-N映射的探測方法重建散射體的

3、問題，在此框架下，研究由所有入射平面波對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場模式重構(gòu)D-to-N映射.在第二章中，基于混合互易原理，提出了證明反演問題唯一性的新方法.其優(yōu)點(diǎn)在于證明過程提供了重構(gòu)D-to-N映射的可行的數(shù)值方案，通過對(duì)每一個(gè)過程進(jìn)行細(xì)致的誤差分析，建立了由有誤差的遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)重構(gòu)D-to-N映射的條件穩(wěn)定性估計(jì).在第三章，進(jìn)一步發(fā)展了重構(gòu)D-to-N映射的數(shù)值方法.以混合互易原理為基礎(chǔ)，將Green函數(shù)的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)移到對(duì)入射點(diǎn)源求導(dǎo)，進(jìn)而提出了由遠(yuǎn)場數(shù)

4、據(jù)反演D-to-N映射的兩種積分方程方法，并對(duì)其數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行了細(xì)致的分析.數(shù)值結(jié)果表明這兩種方法都具有非常理想的數(shù)值實(shí)現(xiàn)效果.
　　 其次，在第四章中，研究了一類帶阻尼邊界的逆散射問題.對(duì)于此類問題，通常需要同時(shí)重建散射體的幾何形狀和邊界阻尼.但對(duì)于很多實(shí)際問題，如軍事領(lǐng)域中真假目標(biāo)的鑒別等，散射體的幾何形狀是已知的，因而只需要從遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)重構(gòu)邊界上的阻尼系數(shù)，就可以檢測出目標(biāo)的物理特性，從而辨別散射體的真?zhèn)?本文在已知散射體

5、幾何信息的基礎(chǔ)上，發(fā)展了重構(gòu)邊界阻尼系數(shù)的數(shù)值方法.具體而言，從Green函數(shù)滿足的齊次邊界條件出發(fā)，建立了一個(gè)關(guān)于阻尼函數(shù)的恒等式.通過分析Green函數(shù)在邊界上的性質(zhì)，提出了由遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)反演邊界阻尼的積分方程方法，其右端項(xiàng)和核函數(shù)涉及到點(diǎn)源對(duì)應(yīng)的散射波的信息，它們均可由平面波的遠(yuǎn)場模式唯一確定.此外，對(duì)重構(gòu)方法的數(shù)值方案進(jìn)行了分析，建立了收斂性結(jié)果.數(shù)值例子表明了此數(shù)值方法的有效性.
　　 最后，研究了在聲學(xué)與電磁學(xué)領(lǐng)域中廣泛

6、存在的對(duì)波場的多障礙散射以及分層介質(zhì)中的障礙體散射，它們均包含了多重散射過程，數(shù)學(xué)上分別對(duì)應(yīng)于偏微分方程混合邊值問題和耦合的偏微分方程組.為了對(duì)相應(yīng)的逆散射問題建立高精度的數(shù)值求解方法，有必要對(duì)這樣一個(gè)全新的正散射問題展開系統(tǒng)的研究，本文處理此類問題的關(guān)鍵技術(shù)是邊界分解方法.在第五章中，考慮由多個(gè)不同類型障礙體引起的聲學(xué)散射問題.利用邊界分解方法，將N個(gè)障礙體引起的多重散射問題分解為N個(gè)單體散射問題，并證明了這種分解的存在唯一性.注意到

7、分解后得到的N個(gè)單散射問題通過邊界條件耦合在一起，提出了解耦的Jacobi迭代方法，對(duì)該算法建立了收斂性和誤差估計(jì).數(shù)值例子很好地驗(yàn)證了相關(guān)的理論結(jié)果.在第六章，將此邊界分解方法應(yīng)用予分層介質(zhì)中的障礙體散射問題.注意到波場在相鄰界面之間會(huì)來回反射，我們將N層介質(zhì)中的障礙體散射問題分解為N-1個(gè)透射問題和一個(gè)均勻背景介質(zhì)中的障礙體散射問題.由于這些經(jīng)典的散射問題仍然是耦合的，提出了解耦的迭代算法，并證明了其收斂性.
　　 最后在第