自守L-函數(shù)的廣義素?cái)?shù)定理.pdf

1、一般來說,L-函數(shù)是一種生成函數(shù),它們或者來源于算術(shù)、幾何對象(比如定義在一個(gè)數(shù)域上的橢圓曲線),或者是來源于自守形式.根據(jù)Langlands綱領(lǐng),任何一個(gè)一般的上廣函數(shù)都可以分解為GLm(QA)上的自守表示的L-函數(shù)的乘積,并且對于任何自守L-函數(shù)Ramanujan-Petersson猜想都成立.因而,對于自守L-函數(shù)的研究具有非常重要的理論意義.
　　 在本文中,我們將研究GLm(QA)和GLm(EA)上的自守表示所對應(yīng)的自

2、守L-函數(shù)的廣義素?cái)?shù)定理.
　　 設(shè)π是GLm(QA)上一個(gè)自守的不可約的尖的酉表示,L(s,π)為其所對應(yīng)的自守L-函數(shù).當(dāng)()s>1時(shí),它可由局部因子的乘積給出(見Godement,Jacquet[11]):
　　 其中
　　 根據(jù)Langlands對應(yīng),這里p為素?cái)?shù),且απ(p,j)是-個(gè)與πp有關(guān)的復(fù)數(shù).
　　 為了把L(s,π)與素?cái)?shù)聯(lián)系起來,我們對其取對數(shù)導(dǎo)數(shù)可得
　　 其中A(n)是

3、von Mangoldt函數(shù),并且
　　 曲[38]在廣義黎曼猜想下給出了L(s,π)的素?cái)?shù)定理,并且得到:對于集合(1,x),除去一個(gè)測度為logx的子集外,有
　　 如果π'是GLm'(QA)上-個(gè)自守的不可約的尖的酉表示,類似地,我們定義L(s,π'),απ'(p,i)和απ'(pκ),這里i=1,...,m'.如果π和π'等價(jià),則m=m',并且對任意的P,[απ(p,j)]=[απ'(p’i)].因此,當(dāng)π≌π'

4、時(shí),對于任意的n=Pκ,有απ(n)=απ'(n).
　　 對如上定義的π和π',我們有與之對應(yīng)的Rankin-Selberg L-函數(shù)L(s,π×π')(見Jacquet,Piatetski-Shapiro,Shalika[20]或Shahidi[43]).此L-函數(shù)由如下局部因子的乘積給出:
　　 其中
　　 同樣地,我們有
　　 最近,劉和葉[31]研究了Rankin-Selberg L-函數(shù)的素?cái)?shù)

5、定理,即函數(shù)
　　 的漸進(jìn)公式.他們的主要結(jié)果可概述為:如果π和π'至少有一個(gè)是自共軛的,則有
　　 在本文第一章中,我們應(yīng)用Rankin-Selberg L-函數(shù)L(s,π×(π))的解析延拓、Euler乘積、函數(shù)方程及非零區(qū)域等性質(zhì),在已有結(jié)果的基礎(chǔ)上證明了其對應(yīng)的廣義素?cái)?shù)定理.考祭
　　 其中κ是一個(gè)正整數(shù),ρπ×(π)(n)是一個(gè)和π,(π)有關(guān)的復(fù)數(shù):我們有如下結(jié)果:
　　 定理1.1.設(shè)π是G

6、Lm(QA)上一個(gè)自守的不可約的尖的酉表示.如果π≌(π),則有
　　 其中復(fù)數(shù)aj,κ(j=1,...,κ-1)與π,(π)有關(guān).
　　 令E/Q是Galois擴(kuò)張,擴(kuò)張次數(shù)為1.設(shè)EA=П'vEv為其所對應(yīng)的adele環(huán),其中v遍歷E的所有位,并且П'表示限制積.對每個(gè)素?cái)?shù)p,都有E()QQp=()v｜pEv.因?yàn)镋/Q是Galois擴(kuò)張,所以對所有的v｜p,Ev是等價(jià)的.我們用lp表示維數(shù),ep=ordv(p)表示

7、分歧指數(shù),fp表示剩余類次數(shù).則lp=epfp且qv=pfp是Ev的剩余類.另外,E()QR或者是()v｜∞R,或者是()v｜∞R.
　　 如上,假設(shè)ρ和ρ'分別是GLm(EA)和GLm'(EA)上自守的不可約的尖的酉表示.令L(s,ρ×(ρ))是其所對應(yīng)的Rankin-Selberg L-函數(shù).考慮
　　 最近,Gillespie和紀(jì)[9]研究了和式
　　 并且得到以下結(jié)果:如果ρ和ρ'至少有一個(gè)是自共軛的,則

8、有
　　 在本文第二章中,我們考察
　　 其中κ是一個(gè)正整數(shù),并且ρρ×(ρ)(n)是一個(gè)和ρ和(ρ)有關(guān)的復(fù)數(shù).應(yīng)用第一章的理論和方法,我們得到
　　 定理2.1.設(shè)ρ是GLm(EA)上一個(gè)自守的不可約的尖的酉表示.如果ρ≌(ρ),則
　　 其中復(fù)數(shù)cj,κ(j=1,...,k-1)與ρ和(ρ)有關(guān).
　　 在2009年,呂[29]研究了L-函數(shù)L(s,π)的Fourier系數(shù)的均值估計(jì).即

9、r>　　 其中π在每個(gè)有限位P上是非分歧的,且ε>0是一個(gè)任意小的數(shù).
　　 在本文第三章中,應(yīng)用修改了的Landau引理以及代數(shù)數(shù)域上關(guān)于Ramanujan猜想的最新結(jié)果,我們給出了GLm(EA)上的L-函數(shù)L(s,ρ)的Fourier系數(shù)的均值估計(jì).我們的主要結(jié)果如下:
　　 定理3.1.設(shè)E/Q是Galois擴(kuò)張,擴(kuò)張次數(shù)為1.令ρ是GLm(EA)上一個(gè)自守的不可約的尖的酉表示,L(s,ρ)是其所對應(yīng)的自守L-函