自守L-函數的廣義素數定理.pdf

1、一般來說,L-函數是一種生成函數,它們或者來源于算術、幾何對象(比如定義在一個數域上的橢圓曲線),或者是來源于自守形式.根據Langlands綱領,任何一個一般的上廣函數都可以分解為GLm(QA)上的自守表示的L-函數的乘積,并且對于任何自守L-函數Ramanujan-Petersson猜想都成立.因而,對于自守L-函數的研究具有非常重要的理論意義.
　　 在本文中,我們將研究GLm(QA)和GLm(EA)上的自守表示所對應的自

2、守L-函數的廣義素數定理.
　　 設π是GLm(QA)上一個自守的不可約的尖的酉表示,L(s,π)為其所對應的自守L-函數.當()s>1時,它可由局部因子的乘積給出(見Godement,Jacquet[11]):
　　 其中
　　 根據Langlands對應,這里p為素數,且απ(p,j)是-個與πp有關的復數.
　　 為了把L(s,π)與素數聯系起來,我們對其取對數導數可得
　　 其中A(n)是

3、von Mangoldt函數,并且
　　 曲[38]在廣義黎曼猜想下給出了L(s,π)的素數定理,并且得到:對于集合(1,x),除去一個測度為logx的子集外,有
　　 如果π'是GLm'(QA)上-個自守的不可約的尖的酉表示,類似地,我們定義L(s,π'),απ'(p,i)和απ'(pκ),這里i=1,...,m'.如果π和π'等價,則m=m',并且對任意的P,[απ(p,j)]=[απ'(p’i)].因此,當π≌π'

4、時,對于任意的n=Pκ,有απ(n)=απ'(n).
　　 對如上定義的π和π',我們有與之對應的Rankin-Selberg L-函數L(s,π×π')(見Jacquet,Piatetski-Shapiro,Shalika[20]或Shahidi[43]).此L-函數由如下局部因子的乘積給出:
　　 其中
　　 同樣地,我們有
　　 最近,劉和葉[31]研究了Rankin-Selberg L-函數的素數

5、定理,即函數
　　 的漸進公式.他們的主要結果可概述為:如果π和π'至少有一個是自共軛的,則有
　　 在本文第一章中,我們應用Rankin-Selberg L-函數L(s,π×(π))的解析延拓、Euler乘積、函數方程及非零區(qū)域等性質,在已有結果的基礎上證明了其對應的廣義素數定理.考祭
　　 其中κ是一個正整數,ρπ×(π)(n)是一個和π,(π)有關的復數:我們有如下結果:
　　 定理1.1.設π是G

6、Lm(QA)上一個自守的不可約的尖的酉表示.如果π≌(π),則有
　　 其中復數aj,κ(j=1,...,κ-1)與π,(π)有關.
　　 令E/Q是Galois擴張,擴張次數為1.設EA=П'vEv為其所對應的adele環(huán),其中v遍歷E的所有位,并且П'表示限制積.對每個素數p,都有E()QQp=()v｜pEv.因為E/Q是Galois擴張,所以對所有的v｜p,Ev是等價的.我們用lp表示維數,ep=ordv(p)表示

7、分歧指數,fp表示剩余類次數.則lp=epfp且qv=pfp是Ev的剩余類.另外,E()QR或者是()v｜∞R,或者是()v｜∞R.
　　 如上,假設ρ和ρ'分別是GLm(EA)和GLm'(EA)上自守的不可約的尖的酉表示.令L(s,ρ×(ρ))是其所對應的Rankin-Selberg L-函數.考慮
　　 最近,Gillespie和紀[9]研究了和式
　　 并且得到以下結果:如果ρ和ρ'至少有一個是自共軛的,則

8、有
　　 在本文第二章中,我們考察
　　 其中κ是一個正整數,并且ρρ×(ρ)(n)是一個和ρ和(ρ)有關的復數.應用第一章的理論和方法,我們得到
　　 定理2.1.設ρ是GLm(EA)上一個自守的不可約的尖的酉表示.如果ρ≌(ρ),則
　　 其中復數cj,κ(j=1,...,k-1)與ρ和(ρ)有關.
　　 在2009年,呂[29]研究了L-函數L(s,π)的Fourier系數的均值估計.即

9、r>　　 其中π在每個有限位P上是非分歧的,且ε>0是一個任意小的數.
　　 在本文第三章中,應用修改了的Landau引理以及代數數域上關于Ramanujan猜想的最新結果,我們給出了GLm(EA)上的L-函數L(s,ρ)的Fourier系數的均值估計.我們的主要結果如下:
　　 定理3.1.設E/Q是Galois擴張,擴張次數為1.令ρ是GLm(EA)上一個自守的不可約的尖的酉表示,L(s,ρ)是其所對應的自守L-函