關(guān)于多參數(shù)等變分歧問題的開折、穩(wěn)定性及識別.pdf

1、1979年，Golubitsky M.和Schaeffer D.G引入了應用奇點理論和群論方法研究分歧問題的思想。對分歧問題進行研究所使用的工具主要來自光滑映射芽的奇點理論中的相關(guān)技巧，研究內(nèi)容包括以下幾個方面： 第一分歧問題的開折。它研究分歧問題在一般擾動下的變化狀態(tài)，如果一個分歧問題存在通用開折，那么經(jīng)過擾動后產(chǎn)生的每一個開折都可以由它的通用開折導出，這說明研究分歧問題的通用開折是非常有意義的。對于含一個分歧參數(shù)的等變分歧問

2、題，當它的狀態(tài)空間與靶空間相同時，Golubitsky M.,Stewart Ⅰ.和Schaeffer D.G.給出了通用開折定理。其后，許多學者對此繼續(xù)研究。特別在國內(nèi)，李養(yǎng)成教授帶領(lǐng)他的研究生建立了各種形式的通用開折定理。 第二分歧問題及其開折的穩(wěn)定性。對光滑映射芽的各種穩(wěn)定性的討論是奇點理論的一個重要部分。利用奇點理論的技巧，LavassaniL.和 Lu Y.C.研究了等變分歧問題及其開折的穩(wěn)定性，劉恒興、張敦穆教授則討

3、論了等變分歧問題開折的(r，s)-穩(wěn)定性。 第三分歧問題的識別與分類。為探討一個分歧問題在什么條件下等價于給定的標準形式，必須尋找這些標準形在等價群作用下的軌道特征。借助于奇點理論中的一個基本概念(有限決定性)，這一問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為有限維的情形來處理。等價群模去高階項將以Lie群方式作用在一個有限維空間上，因而可以將軌道描述成由一些這樣的映射芽組成，它們的Taylor系數(shù)滿足有限多個多項式約束，并以方程或不等式形式表示，這正是

4、識別問題的解。在分歧問題的識別研究中，Gaffney T.引入了冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)作為研究工具，建立了多參數(shù)等變分歧問題的D(Γ)-等價理論；Melbourne Ⅰ.研究了含一個分歧參數(shù)的等變分歧問題，建立了U(Γ)-等價理論；李養(yǎng)成教授則更一般地建立了多參數(shù)等變分歧問題的U(Γ)-等價理論。研究分歧問題在等價意義下有幾類，是一個非常有意義但又很棘手的問題。到目前為止，只解決了幾類分歧問題在低余維數(shù)條件下的識別與分類問題。

5、 通常，對分歧問題的研究不考慮分歧參數(shù)的對稱性，即使考慮，也僅限于分歧參數(shù)與狀態(tài)變量具有相同的對稱性，而且常將所有狀態(tài)變量同等對待而不加區(qū)別。本文則在更一般情形下研究分歧參數(shù)與狀態(tài)變量均具有對稱性的靜態(tài)多參數(shù)等變分歧問題，其中分歧參數(shù)所具有的對稱性可以與狀態(tài)變量所具有的對稱性不同，而且將狀態(tài)變量分為兩組，區(qū)別對待，其中一組中的諸狀態(tài)變量可以獨立變化，而另一組中諸狀態(tài)變量在變化過程中則依賴于前一組中的變量。 本文第一章研究上述分

6、歧問題在接觸等價群作用下的開折，借助于Damon J.所提供的DA-代數(shù)工具，去掉了前述各種形式的通用開折定理中對分歧問題的余維數(shù)的較強要求，僅在余維數(shù)有限的前提下得到了通用開折定理，從而所得結(jié)果包含了許多已有的相應結(jié)果。 本文第二章進一步研究在接觸等價群作用下上述等變分歧參數(shù)及其開折的穩(wěn)定性問題，得到了這類分歧問題是穩(wěn)定的等價于它是無窮小穩(wěn)定的結(jié)論，并且用橫截性條件刻畫了這類分歧問題的穩(wěn)定性。 本文第三章繼續(xù)利用奇點理

7、論中光滑映射芽的接觸等價，研究狀態(tài)變量和分歧參數(shù)均具有對稱性的等變分歧問題，得到了狀態(tài)變量具有D<,6>對稱性、分歧參數(shù)具有Z<,2>，對稱性的等變分歧問題的兩個識別條件，所得結(jié)果是進一步對這類分歧問題分類的基礎(chǔ)。 本文第四章利用奇點理論中光滑映射芽的左右等價關(guān)系，討論分歧參數(shù)帶有對稱性的等變分歧問題的開折的穩(wěn)定性，刻畫了無窮小穩(wěn)定開折的特征，并指出該類等變分歧問題關(guān)于左右等價而言的通用開折必為無窮小穩(wěn)定開折。 本文第五