一類新型平均場偏微分方程的Sobolev解的概率解釋.pdf

1、自2009年Buckdahn，Djehiche，Li和Peng[1]率先引入平均場倒向隨機微分方程(簡記為，MFBSDEs)，這類方程就倍受關注。他們研究了MFBSDEs和相應偏微分方程(簡記為，PDEs)粘性解的關系。
　　本文主要研究的是一類新型的平均場PDEs的弱解—Sobolev解。與粘性解不同的是Sobolev解的存在唯一性不需要依賴于比較定理的結果，故方程的系數(shù)可以依賴于(z)。本文主要研究的方程形式如下:
　　

2、平均場SDE:Xt,xs=x+∫s t b（r，E[G（X0,x0 r，）]，Xt，x r)dr+∫s tσ（r，E[θ（X0,x0 r）]，Xt，x r）dWr，(1)平均場BSDE:Yt，x s=Φ（E[κ（X0,x0 T）]，Xt,x T）-∫T s Zt，x r dWr+∫T s f(r，E[Ψ(X0，x0 r)]，Xt，x r,E[Λ(Y0,x0 r）]，Yt,x r，E[Γ（Z0，x0 r）]，Zt，x r）dr，(2)以及

3、新型平均場PDE:{(a)/(a)t u(t,x)+(L)u(t，x)+(f)（t，x，u，Dσu）=0u(T,x)=Φ（E[κ（X0,x0 T）]，x），(t，x)∈[0，T]×Rn.(3)
　　第一部分:主要的假設條件有:
　　假設3.1:
　　(A1)(i)函數(shù)b和σ關于(x)，x滿足Lipschitz條件。
　　(ii) b(·，0，0)和σ(·，0，0)是F-循序可測連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)l＞0，使得對任意

4、的0≤t≤T，(x)，x∈Rd，|b(t，(x)，x)|+|σ(t，(x)，x)|≤l(1+|x|），a.s.
　　(A2)(i)Φ是F(x)B(Rd)-可測隨機變量，f（·，(x)，x，(y)，y，(z)，z）是F-適應的可測過程，對任意的（(x)，x，(y)，y，(z)，z）∈Rd×Rd×Rn×Rn×Rn×d×Rn×d成立。且f(t，(x)，x,0，0,0，0)∈H2F（0,T;Rn）。
　　(ii)f關于(x)，x，(

5、y)，y，(z)，z滿足Lipschitz條件。
　　(iii)f和Φ滿足線性增長條件，也就是說，存在c＞0，使得a.s.對任意的(x)，x∈Rd，|f(t，(x)，x，0，0，0，0)|+|Φ((x)，x)|≤c(1+|(x)|+|x|).
　　(iv)G，θ，Ψ，κ:Rd→Rd.Λ:Rd→Rd，Γ:Rn×d→Rn×d的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。
　　(A3)給定（(x)，(y)，(z)）∈Rd×Rn×Rn×d，對

6、任意的s∈[0，T]，(x，y，z)→f(s，(x)，x，(y)，y，(z)，z)∈C,3,3b(Rd×Rn×Rn×d，Rn).
　　(A4)b∈C1,3,3 b（[0，T]×Rd×Rd，Rd）且σ∈C1,3,3 b（[0，T]×Rd×Rd，Rd×d）。
　　同時，我們給出值函數(shù)的定義為u(t，x)=Yt,x t。那么，在假設3.1下，平均場PDE
　　(3)存在唯一解，且滿足以下關系式Yt，x s=u(s，Xt,x

7、s)，Zt,x s=Dxu（s，Xt,x s）σ（s，E[θ(X0，x0 s)]，Xt,x s).
　　借助隨機逆流、等價范數(shù)及測試函數(shù)，最終我們可以得到在假設3.1-(A2)，(A4)下，u(t，x)=Yt,x t是平均場PDE(3)的唯一Sobolev解。
　　第二部分:第一，我們研究的是以下假設4.1條件成立的情況下，帶全局單調系數(shù)的MFBSDE(2)解的存在唯一性定理。
　　假設4.1:
　　(H1)對任

8、意固定的(ω，t），f(ω，t，.，.，.，.)連續(xù);
　　(H2)存在一過程(f)t∈H2 F(0，T;R)和一個常數(shù)L＞0，使得|f(t，(y)，(z)，y，z)|≤(f)t+L(|(y)|+|(z)|+|y|+|z|).
　　(H3)存在常數(shù)λ1，λ2∈R，使得對任意的t∈[0，T，yi，(y)i∈Rn，z，(z)∈Rn×d(i=1，2)，(y1-y2)(f(t，(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(y)2，y2，(

9、z)，z)）≤λ1(y1-y2)((y)1-(y)2)+λ2|y1-y2|2.
　　(H4)存在L＞0，使得P-a.s.對任意的t∈[0，T]，y，y∈Rn，zi，(z)i∈Rn×d(i=1，2)，|f(t，(y)，y，(z)1，z1)-f(t，(y)，y，(z)2，z2)|2≤L（|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2）.
　　第二，我們研究的是帶局部單調系數(shù)的MFBSDE(2)解的存在性和唯一性，假定如下條件成立，<

10、br>　　假設4.2:
　　(H2')存在L＞0和0≤γ≤1，使得|f(t，(y)，(z)，y，z)|≤L（1+|(y)|γ+|(z)|γ+|y|γ+|z|γ）.
　　(H3')對任意的N∈N，存在常數(shù)λN，(λ)N∈R，使得對任意的t∈[0，T]，yi，(y)i∈Rn，z,(z)∈Rn×d滿足|yi|，|(y)i|，|z|，|(z)|≤N(i=1，2)，有(y1-y2)(f(t,(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(y)

11、2，y2，(z)，z)）≤λN（y1-y2）（(y)1-(y)2）+(λ)N|y1-y2|2.
　　(H4')對任意的N∈N，存在LN＞0，使得P-a.s.對任意的t∈[0，T]，y，(y)∈Rn，zi，(z)i∈Rn×d滿足|yi|，|(y)i|，|z|，|(z)|≤N(i=1，2)，成立|f（t，(y)，y，(z)1，z1）-f(t，(y)，y，(z)2，z2)|2≤LN（|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2）.

12、　　那么，我們可以得到在假設4.1-(H1)和假設4.2成立的情況下，且滿足1+ exp(2L+2|λN|+2(λ)+N+2LNθ-1+2)/N2(1-γ)→0，當N→∞時，(4)
　　其中θ是一個任意固定的常數(shù)，使得0＜θ＜1-2α。帶局部單調系數(shù)的MFBSDE(2)有唯一解(Y，Z)。
　　第三:在前面的結論成立的情形下，我們可以開始研究相應平均場PDE(3)的Sobolev解的存在唯一性。首先，我們可以得到在以下假設下

13、:
　　假設4.3:
　　(B1)b，σ滿足假設3.1-(A1)，(A4)。
　　(B2)f，Φ滿足假設3.1-(A2)-(i)(iii)，以及假設3.1-(A2)-(iv)成立，Φ∈L2(Rd,ρ(x)dx)。
　　(B3)對任意的0≤t≤T，(x)1，(x)2，x1，x2∈Rn，(y)，(y)1，(y)2，y，y1，y2∈Rn，(z)，(z)1,(z)2，z，z1，z2∈Rn×d，存在C＞0，λ1，λ2∈R，

14、使得|Φ（(x)1，x1）-Φ（(x)2，x2）|2+|f（t，(x)1，x1，(y)，y，(z)1，z1）-f(t，(x)2，x2，(y)，y，(z)2，z2)|2≤C(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)|2+|z1-z2|2).(y1-y2)(f(t，(x)1，x1，(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(x)2，x2，(y)2，y2，(z)，z)）≤λ1((y)1-(y)2)(y1-y2)+λ2|y1-

15、y2|2.
　　(B4)|f(t，(x)，x，(y)，y，(z)，z)|≤|f(t，(x)，x，0，0，0，0)|+K(|(y)|+|y|+|(z)|+|z|)，f(t，(x)，x，0，0，0，0)∈L2(Rd，ρ(x)dx)且滿足線性增長。
　　值函數(shù)u(t，x):=Yt,x t是帶全局單調系數(shù)的平均場PDE(3)的唯一Sobolev解。
　　接著我們也可以得到在局部單調性的假設下平均場PDE的Sobolev解的存在

16、唯一性定理的結論。相應的局部單調性假設，如下:
　　假設4.4:
　　(B3')對任意的N∈N，存在LN＞0，λN，(λ)N∈R，使得對(x)1，x1，(x)2，x2∈Rd，(y)1,y1，(y)2，y2∈Rn，(z)1，z1，(z)2，z2∈Rn×d，滿足|(y)1|，|y1|，|(y)2|，|y2|，|(z)1|，|z1|，|(z)2|，|z2|≤N，成立|Φ（(x)1，x1）-Φ（(x)2，x2）|2+|f(t，(x)

17、1，x1,(y)1，y1，(z)1，z1)-f(t，(x)2，x2，(y)1，y1,(z)2，z2)|2≤LN(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2)，（y1-y2）(f(t，(x)1，x1，(y)1，y1，(z)1，z1)-f(t，(x)1，x1，(y)2，y2，(z)1，z1)）≤λN(y1-y2)((y)1-(y)2)+(λ)N|y1-y2|2.
　　(B4')存在K＞0和0