非線性波動(dòng)方程非齊次問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)間存在性及其應(yīng)用.pdf

1、在本文中，我們將討論非線性波動(dòng)方程非齊次問(wèn)題小初值經(jīng)典解的長(zhǎng)時(shí)間存在性.首先我們利用壓縮映像原理和廣義能量積分證明了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性，并借助波動(dòng)算子的平移不變性、空間旋轉(zhuǎn)不變性和伸縮不變性，通過(guò)連續(xù)性討論，證明了三維空間中含非齊次項(xiàng)擬線性波動(dòng)方程柯西問(wèn)題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和三維空間中具有零形式擬線性波動(dòng)方程組星形區(qū)域非齊次邊界外問(wèn)題經(jīng)典解的整體存在性.利用類似的思想，我們還得到了受外力各向同性超彈性體經(jīng)典解的幾乎整體存在性及當(dāng)

2、非線性項(xiàng)滿足零條件時(shí)系統(tǒng)的經(jīng)典解當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)會(huì)收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.其次，我們證明了三次半線性波動(dòng)方程(Klein-Gordon方程)經(jīng)典解的指數(shù)階能穩(wěn)，利用該結(jié)論和構(gòu)造性方法，還得到了系統(tǒng)在一般區(qū)域上的全局精確邊界能控性，特別地當(dāng)區(qū)域?yàn)樾切胃郊訁^(qū)域時(shí)，所得到的邊界控制函數(shù)只需作用在邊界的一個(gè)相對(duì)開(kāi)子集上.我們的證明方法適用于只要非線性項(xiàng)滿足“好符號(hào)”增長(zhǎng)條件的一般情形。
　　此外，在附錄一，我們借助Morawetz乘子建立了

3、兩維空間中擾動(dòng)線性波動(dòng)方程的Morawetz能量估計(jì)和提升的Morawetz能量估計(jì)，利用表現(xiàn)空間方向衰減的帶權(quán)Sobolev不等式，在只使用波動(dòng)算子的平移不變性和空間旋轉(zhuǎn)不變性的情況下，得到了兩維非線性波動(dòng)方程星形區(qū)域外問(wèn)題經(jīng)典解的生命跨度的下界估計(jì)，這填補(bǔ)了兩維非線性波動(dòng)外問(wèn)題的空白.在附錄二，我們結(jié)合Klainerman-Sideris途徑和Alinhac所引入的能表現(xiàn)好導(dǎo)數(shù)比一般導(dǎo)數(shù)具有更好性質(zhì)的提高的能量估計(jì)，證明了兩維擬線性

4、波動(dòng)方程組多波速幾乎對(duì)角系統(tǒng)，當(dāng)非線性項(xiàng)滿足第一零條件、不滿足第二零條件時(shí)經(jīng)典解幾乎整體存在；當(dāng)非線性項(xiàng)同時(shí)滿足第一、第二零條件時(shí)經(jīng)典解整體存在。
　　本文的具體組織如下：
　　在第一章中，我們介紹非線性波動(dòng)方程齊次問(wèn)題的研究歷史，并對(duì)全文的內(nèi)容做了個(gè)簡(jiǎn)單的概述。
　　在第二、第三章中，我們分別得到了三維空間中含作齊次項(xiàng)擬線性波動(dòng)方程柯西問(wèn)題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和具有零形式擬線性波動(dòng)方程組星形區(qū)域非齊次邊界外問(wèn)題經(jīng)典

5、解的整體存在性。
　　在第四章中，我們研究了受外力各向同性超彈性體柯西問(wèn)題經(jīng)典解的幾乎整體存在性和整體存在性。
　　在第五章中，我們得到了三次半線性波動(dòng)方程和三次半線性Klein-Gordon方程在一般區(qū)域上的全局精確邊界能控性，特別地當(dāng)區(qū)域?yàn)樾切胃郊訁^(qū)域時(shí)，我們得到了邊界控制函數(shù)只需作用在邊界的一個(gè)相對(duì)開(kāi)子集上。
　　在附錄一，我們得到了兩維空間中的非線性波動(dòng)方程星形區(qū)域外問(wèn)題經(jīng)典解的生命跨度的下界估計(jì).在附錄二，我