與PDE數(shù)值解相關(guān)的線性代數(shù)方程組求解.pdf

1、在偏微分方程數(shù)值解中,常采用有限差分法、有限元法以及有限體積法等方法,其實(shí)質(zhì)都是將連續(xù)的問題離散化,最后問題常歸結(jié)為方程組的求解,比較常見的是大型線性方程組,非線性方程組也往往要轉(zhuǎn)換成線性代數(shù)方程組的求解.因此對(duì)于數(shù)值求解偏微分方程而言‘,線代數(shù)方程組求解是非常重要的一環(huán).方程組求解方法主要是數(shù)值代數(shù)研究的領(lǐng)域,對(duì)于偏微分方程數(shù)值解研究方向的科技人員而言,往往并不親自去研究方程組的求解方法以及理論分析,而注重的是算法的使用、算法的結(jié)論以

2、及算法的計(jì)算效果(計(jì)算精度、快慢等).本文寫作目的即是對(duì)大型線代數(shù)方程組求解的各種方法進(jìn)行討論,理論與實(shí)踐相結(jié)合,對(duì)一些尚不完善的理論問題進(jìn)行深入分析,并選擇Poisson方程差分格式對(duì)各種方法進(jìn)行綜合實(shí)驗(yàn)比對(duì),提供求解方程組時(shí)算法選擇的依據(jù).在直接法部分,首先應(yīng)該指出在條件數(shù)大小與病態(tài)/良態(tài)問題的關(guān)系、判斷一個(gè)具體問題是否病態(tài)的理論分析方法等還有許多值得細(xì)致研究的問題,本文只就通常的數(shù)值分析教材中不明確或易混淆的一些地方進(jìn)行了說明,并

3、對(duì)一些理論問題進(jìn)行了深入探討,提出一些疑問.其次針對(duì)高斯列主元消去法進(jìn)行了具體的理論與實(shí)踐相結(jié)合的分析:對(duì)稠密矩陣進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),對(duì)該算法適應(yīng)方程組類型、可求解方程組的規(guī)模、計(jì)算速度、計(jì)算結(jié)果精度等問題給出了答案;分析了列主元消去法的舍入誤差理論,給出了因舍入誤差影響導(dǎo)致計(jì)算失效的一個(gè)例子,指出了舍入誤差理論不完善的地方;針對(duì)典型的偏微分方程數(shù)值解中的Poisson方程問題進(jìn)行了進(jìn)一步實(shí)驗(yàn),了解將連續(xù)問題經(jīng)由差分格式離散化后產(chǎn)生的大型稀

4、疏型方程組用直接法來編程求解的過程以及最后的計(jì)算效果.最后結(jié)合一維兩點(diǎn)邊值問題數(shù)值實(shí)驗(yàn)討論了三對(duì)角方程組求解的追趕法.在迭代法一節(jié),分析了各種基本迭代算法的收斂條件、收斂速度,為比較算法之間計(jì)算效果,仍采用Poisson方程問題對(duì)各種算法進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)綜合比對(duì).進(jìn)一步地,針對(duì)Jacobi方法收斂速度慢的問題,本文給出了Jacobi方法結(jié)合Chebyshev半迭代算法,數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了它的計(jì)算速度和精度的提高;針對(duì)逐次超松弛(SOR)迭代法