計(jì)算大規(guī)模矩陣部分奇異值分解的精化Lanczos型算法.pdf

1、該文研究大規(guī)模矩陣奇異值問題的Lanczos類算法、算法的收斂性以及算法的重新啟動(dòng)等問題,全文共分六章.引言部分介紹大規(guī)模矩陣奇異值問題的來源、解決此類問題的基本方法以及該學(xué)科的發(fā)展?fàn)顩r,最后介紹該文的工作.第一章給出了投影類方法收斂性分析方面已有的重要結(jié)果,表明傳統(tǒng)投影類方法存在著近似特征值收斂而近似奇異值可能不收斂的嚴(yán)重隱患,而賈提出的精化投影方法則可以克服這一隱患.只要近似特征值收斂,則對(duì)應(yīng)的精化近似特征向量必然收斂.第二章研究了

2、增廣矩陣在一類特殊子空間上Ritz對(duì)的性質(zhì),證明投影后的特征問題可以通過計(jì)算階數(shù)降低一半的小規(guī)模奇異值問題來求解.這一性質(zhì)可以用于雙對(duì)角化Lanczos方法以及計(jì)算隱式重新啟動(dòng)的精化雙對(duì)角化Lanczos方法中的精化位移,從而顯著地節(jié)省存儲(chǔ)量和計(jì)算量.第三章研究了計(jì)算部分最大(或最小)奇異組的隱式重新啟動(dòng)的下雙對(duì)角化Lanczos方法,分析了其收斂性,指出這一方法存在著近似奇異值收斂而近似奇異向量可能不收斂的隱患.為克服這一隱患,借鑒賈

3、的精化策略,該章做了兩方面的工作:第一,用精化近似奇異向量代替Ritz近似奇異向量來作為待求奇異向量的近似,并證明,只要對(duì)應(yīng)的近似奇異值收斂,則精化近似奇異向量必然收斂;第二,用可以廉價(jià)、可靠地得到的精化位移來代替準(zhǔn)確位移,并從理論上證明精化位移要優(yōu)于準(zhǔn)確位移.理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)都表明,改進(jìn)后的隱式重新啟動(dòng)的精化下雙對(duì)角化Lanczos方法要明顯優(yōu)于隱式重新啟動(dòng)的下雙對(duì)角化Lanczos方法.第四章研究了計(jì)算部分奇異值分解的上雙對(duì)角化Lan

4、czos方法,并給出了其精化版本,并做了收斂性分析,理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)都表明,精化版本明顯優(yōu)越,最后還就上雙對(duì)角化Lanczos方法以及下雙對(duì)角化Lanczos方法做了初步的比較.第五章研究了計(jì)算內(nèi)部奇異值問題的調(diào)和雙對(duì)角化Lanczos方法,分析了其收斂性,結(jié)果表明,第一,調(diào)和Ritz值收斂,但嚴(yán)重依賴目標(biāo)點(diǎn)的選擇,用調(diào)和Ritz近似奇異向量的Rayleigh商來代替調(diào)和Ritz值則可以消除這一依賴性;第二,只要某調(diào)和Ritz值與其它調(diào)和

5、Ritz值分隔的比較開,則對(duì)應(yīng)的調(diào)和Ritz近似奇異向量收斂.借鑒Morgan的調(diào)和位移策略,該章還給出了隱式重新啟動(dòng)的位移策略,仍稱之為調(diào)和位移.最后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,帶調(diào)和位移的隱式重新啟動(dòng)的調(diào)和雙對(duì)角化Lanczos方法可以用于求解內(nèi)部奇異值問題.第六章就未完成的工作做了一下總結(jié),主要包括:一、細(xì)致分析精化上、下雙對(duì)角化Lanczos方法的差別,以便選擇合適的投影策略;第二,就調(diào)和雙對(duì)角化Lanczos方法收斂性方面存在的隱患,引入