平均意義下的拓撲動力系統(tǒng)的性質(zhì)和冪零系統(tǒng).pdf

1、本文中，我們主要研究兩大類問題，一是一些拓撲動力系統(tǒng)的概念在某種平均意義下的推廣，二是關(guān)于冪零系統(tǒng)及其與數(shù)論的聯(lián)系.
　　本文的具體安排如下:
　　在第一章中，我們簡要回顧了拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論的起源，發(fā)展和主要研究內(nèi)容，并簡要介紹了本文的研究背景和主要結(jié)論.
　　在第二章中，我們將簡明扼要地介紹一下拓撲動力系統(tǒng)和遍歷理論的相關(guān)知識，以及后面章節(jié)將用到的一些工具.
　　在第三章中，我們研究Banach prox

2、imal性質(zhì)和一些拓撲動力系統(tǒng)的概念在平均意義下的推廣.首先我們得到了拓撲動力系統(tǒng)為強proximal的一系列等價條件.基于對平均等度連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的深入研究，我們解決了Scarpellini提出的一個未解決問題:平均等度連續(xù)系統(tǒng)上每個遍歷測度都具有離散譜.我們引入了Banach平均等度連續(xù)，幾乎平均等度連續(xù)，幾乎Banach平均等度連續(xù)等概念，并證明幾乎平均等度連續(xù)系統(tǒng)的熵不一定為零，而幾乎Banach平均等度連續(xù)系統(tǒng)的熵一定為零.另外

3、，我們還得到下面的二分定理:一個傳遞系統(tǒng)要么是幾乎平均等度連續(xù)，要么是平均敏感的;一個極小系統(tǒng)要么是平均等度連續(xù)，要么是平均敏感的.對于Banach平均等度連續(xù)，我們也有類似的結(jié)果.
　　在第四章中，我們將討論極小系統(tǒng)中的動力學(xué)平行六面體.對于拓撲動力系統(tǒng)（X，T）以及d∈N，Host-Kra-Maass給出了對應(yīng)的動力學(xué)六面體Q[d]的概念.對于一個極小distal系統(tǒng)他們證明了由x～d-1 x'當且僅當（x，x'）∈Q[d]所

4、定義的Q[d-1]的關(guān)系～d-1為一個等價關(guān)系;Q[d]滿足閉平行六面體條件;同時對于x∈X，Q[d]中的第一個坐標為x的點構(gòu)成的集合在面變換作用下為一個極小集.通過對Q[d]的結(jié)構(gòu)的細致研究，我們將給出例子說明:對于一般的極小系統(tǒng)，上述條件可能不成立.這也說明在處理一般極小系統(tǒng)中的動力學(xué)平行六面體時，Ellis半群等工具是不可缺少的。
　　在第五章中，我們將討論冪零系統(tǒng)在組合數(shù)論的應(yīng)用，我們將討論動力系統(tǒng)回復(fù)時間集與Nil-Bo

5、hr集之間的關(guān)系.這與組合數(shù)論中一個關(guān)于Bohr集的經(jīng)典問題有著緊密的關(guān)系:設(shè)S為Z的一個syndetic子集，集合S-S是否為一個Bohr0集.Veech證明這個問題在相差一個零密度意義下是成立的，Huang-Shao-Ye給出了Veech的結(jié)果的一個高階形式.
　　通過研究動力系統(tǒng)回復(fù)時間集與Nil-Bohr集之間的關(guān)系，我們得到下面二個結(jié)果:
　　(1)上述問題的多項式形式也為幾乎正確的.
　　(2)對于經(jīng)典的斜