李對(duì)稱分析法在幾類偏微分方程求解中的應(yīng)用.pdf

1、19世紀(jì)以來(lái)，隨著非線性偏微分方程在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛運(yùn)用，對(duì)非線性偏微分方程求解問(wèn)題的研究已逐漸成為熱點(diǎn)。然而，求解非線性偏微分方程極具挑戰(zhàn)性，目前雖然已經(jīng)提出了許多求解非線性偏微分方程的方法，但由于沒(méi)有統(tǒng)一的求解非線性偏微分方程的方法，因此我們需要繼續(xù)尋找更行之有效的方法。本文正是基于此目的，依據(jù)李對(duì)稱方法研究了三類非線性偏微分方程的求解問(wèn)題，三類偏微分方程分別為：ill-posed Boussinesq方程、二元Camassa-Ho

2、lm方程和五階時(shí)間分?jǐn)?shù)階KDV方程。本文首先根據(jù)李對(duì)稱法的基本思想對(duì)以上方程進(jìn)行分析，得到了這些方程的向量場(chǎng)，相似約化，進(jìn)一步得出這些方程所對(duì)應(yīng)的約化方程。其次，根據(jù)冪級(jí)數(shù)法的相關(guān)理論得出了方程的冪級(jí)數(shù)解。最后，結(jié)合隱函數(shù)定理證明了所得冪級(jí)數(shù)解的收斂性。
　　本文的主要內(nèi)容如下：
　　第一章為緒論，首先簡(jiǎn)要回顧了偏微分方程（包括分?jǐn)?shù)階偏微分方程）的研究背景以及求解偏微分方程的幾類方法，其次介紹了李對(duì)稱分析法的研究背景并詳細(xì)的

3、闡述了李對(duì)稱方法的基本思想。
　　第二章為預(yù)備知識(shí)，該部分?jǐn)⑹隽伺c李對(duì)稱方法以及分?jǐn)?shù)階微分方程相關(guān)的定義。
　　第三章用李對(duì)稱分析法求解ill-posed Boussinesq方程，本章給出了ill-posed Boussinesq方程的具體表達(dá)形式以及所代表的物理意義，并用李對(duì)稱分析法將ill-posed Boussinesq方程化為常微分方程，最后得出該方程相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)解，證明了所得冪級(jí)數(shù)解的收斂性。
　　第四章用

4、李對(duì)稱分析法求解二元Camassa-Holm方程，同樣給出了該方程的具體形式以及物理意義，運(yùn)用李對(duì)稱方法獲得了二元Camassa-Holm方程的幾種不同的約化方程，并且就其中某一個(gè)約化方程給出了詳細(xì)的冪級(jí)數(shù)解求解過(guò)程和收斂性證明過(guò)程。
　　第五章用李對(duì)稱分析法求解五階時(shí)間分?jǐn)?shù)階KDV方程，結(jié)合預(yù)備知識(shí)中有關(guān)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的基礎(chǔ)理論對(duì)五階時(shí)間分?jǐn)?shù)階KDV方程進(jìn)行分析，得出了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階常微分方程，并給出了具體的轉(zhuǎn)化過(guò)程。最后，根據(jù)