幾類時滯微分方程的分支分析.pdf

1、自從牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，人們就開始運用微分方程來描述客觀世界的發(fā)展系統(tǒng)。而分支問題是動力系統(tǒng)和非線性微分方程中一個最重要的研究課題之一，其研究對象往往是那些結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，研究當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化并經(jīng)過某些臨界值時系統(tǒng)的某些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變的現(xiàn)象。分支問題包括局部分支、半局部分支和全局分支。Hopf分支屬于局部分支，研究的是當(dāng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生改變，從而在平衡點附近產(chǎn)生小振幅震蕩周期解的現(xiàn)象。
　　時滯微分方程是

2、具有時間滯后的微分方程，它用于描述既依賴于當(dāng)前狀態(tài)也依賴于過去狀態(tài)的發(fā)展系統(tǒng)。由于充分考慮了歷史對當(dāng)前狀態(tài)的影響，它在生態(tài)、物理、化學(xué)、工程、信息、經(jīng)濟(jì)及生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域都有著重要且廣泛的應(yīng)用。對時滯微分方程分支問題的研究既要用到經(jīng)典的動力系統(tǒng)和微分方程理論，又要用到泛函、代數(shù)、拓?fù)涞认嚓P(guān)知識，所以對其進(jìn)行系統(tǒng)而深入的研究不但有著強(qiáng)烈的實際背景而且還有重大的理論意義。
　　本文的工作涉及幾類含有時滯的發(fā)展系統(tǒng)的分支問題，主要理論

3、框架敘述如下：
　　以時滯τ作為參數(shù)，研究當(dāng)它由零逐漸增大時，能使系統(tǒng)平衡點“失穩(wěn)”的前提條件。主要途徑是通過對系統(tǒng)在平衡點處的線性化系統(tǒng)特征方程的特征根分布狀況的研究，運用的是魏俊杰和阮士貴總結(jié)出的成熟的且被廣泛應(yīng)用了的理論方法。關(guān)于分支方向和分支周期解的計算問題，主要是以B. D. Hassard和N. D. Kazarinoff等人所建立的抽象微分方程的中心流形理論為基礎(chǔ)，先把所研究的滯后型FDE投影到中心流形上，然后利用規(guī)

4、范型理論獲得關(guān)于分支方向，分支周期解的穩(wěn)定性、振幅、周期及其在中心流形上投影的表達(dá)式的計算公式。魏俊杰和阮士貴在上述Kazarinoff等計算Hopf分支性質(zhì)的基礎(chǔ)上，概括出切實可行的計算有界滯量泛函微分方程Hopf分支性質(zhì)的公式，對所研究的系統(tǒng)只要把與其相關(guān)的已知量代入公式，就可得到關(guān)于Hopf分支性質(zhì)的足夠信息。但是，當(dāng)τ繼續(xù)增大且距離第一個分支值τ0漸遠(yuǎn)時，分支周期解是否能保持下去？也就是所謂的全局Hopf分支周期解是否存在？我們

5、以M. Li等人的高維Bendixson準(zhǔn)則和吳建宏的全局周期解存在性定理為理論指導(dǎo)，運用魏俊杰和M. Li總結(jié)出來的方法，明確給出了當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)逐漸增大經(jīng)過各個臨界值時，存在全局Hopf分支周期解的充分性條件，并且確定了可能存在的全局分支周期解個數(shù)的下限。
　　1988年，M. Golubitsky等人在專著《Singularities and groups in bifurcation theory》中，以等變的分支理論做基礎(chǔ)，

6、揭示了由完全相同單元體構(gòu)成的環(huán)能產(chǎn)生一些奇異而有趣的振動。吳建宏等人把這種等變的Hopf分支理論推廣到時滯微分方程，對解決非單重純虛特征根的情形給出了切實可行的方法。他們的工作是研究這種結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的理論基石。
　　以上述理論作為指導(dǎo)，本文的主要工作如下：
　　1.首先從分支的角度研究了由Mackey和Glass提出的著名生理模型。給出了當(dāng)時滯τ增加時，系統(tǒng)的唯一正平衡點附近能經(jīng)歷Hopf分支的條件；接著，利用B. D

7、. Hassard和N. D. Kazarinoff等人所創(chuàng)立的理論以及魏俊杰和阮士貴所使用的方法，獲得了關(guān)于分支方向，分支周期解的穩(wěn)定性、振幅、周期等的計算公式；最后給出了系統(tǒng)存在全局分支周期解的條件。
　　2.研究了一個帶有時滯的三神經(jīng)元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的Hopf分支問題。運用分析平衡點處特征方程特征根的辦法，給出了系統(tǒng)零平衡點的穩(wěn)定性以及能產(chǎn)生Hopf分支的條件；其次，利用中心流形理論和規(guī)范型方法討論了計算Hopf分支方向和分支

8、周期解的穩(wěn)定性的公式；而后對全局Hopf分支周期解存在性的問題也做了透徹的分析。最后，對若干個實例進(jìn)行了數(shù)值仿真，其結(jié)果驗證了理論分析結(jié)果的正確性。
　　3.研究了含時滯的由n個神經(jīng)元組成的具有對稱結(jié)構(gòu)的環(huán)狀神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的Hopf分支問題。首先給出了當(dāng)神經(jīng)元的個數(shù)分別為奇數(shù)、偶數(shù)而非4的倍數(shù)以及為4的倍數(shù)這三種情況下零平衡點處線性化系統(tǒng)特征方程的具體表達(dá)形式；然后，分別在上述三種情況下對條件穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行了詳盡的劃分，進(jìn)而充分地研究