非標(biāo)準(zhǔn)分析方法在一致拓?fù)淇臻g中的若干應(yīng)用.pdf

1、在拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,一致空間是指帶有一致結(jié)構(gòu)的集合,是一種特殊的拓?fù)淇臻g,可以用來(lái)定義很多一致性質(zhì)的結(jié)構(gòu)。一致空間與拓?fù)淇臻g和度量空間存在密切的聯(lián)系,因此一致空間成為聯(lián)系拓?fù)淇臻g和度量空間的重要紐帶。本論文通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法對(duì)一致空間進(jìn)行了研究,結(jié)論如下。
　　(1)借助格集的定義,刻畫(huà)了一致空間上函數(shù)的一致收斂,證明了如果函數(shù)序列 fn一致收斂于f,且每個(gè)函數(shù)在一致空間上連續(xù),則 f在一致空間上也連續(xù)。
　　(2)定

2、義了一致空間上函數(shù)的U?微連續(xù)性、U?等度連續(xù)性、rs?連續(xù)性及U?*?連續(xù)性;給出了用格集來(lái)刻畫(huà)U?微連續(xù)性的等價(jià)命題;證明了f為一致連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)f為U?微連續(xù),{|}nf n?N?為U?等度連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)fn是U?微連續(xù)及 f是rs?連續(xù)的,則f是U?微連續(xù)的等上述四種非標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)性之間的關(guān)系。
　　(3)通過(guò)緊一致空間的非標(biāo)準(zhǔn)刻畫(huà),證明了如果 f在緊一致空間上是連續(xù)的,則是一致連續(xù)的,在緊一致空間上{|}nfn?N?一致收斂于

3、f當(dāng)且僅當(dāng){|}nfn?N?是U?等度連續(xù)的。并利用U?微連續(xù)的概念及內(nèi)函數(shù)定理,證明了一致空間上函數(shù)的逼近定理;進(jìn)一步討論了一致空間上緊映射的性質(zhì);為以后研究一致空間奠定了基礎(chǔ)。
　　(4)證明了Cauchy濾子與一致結(jié)構(gòu)單子之間的關(guān)系;對(duì)Cauchy網(wǎng)的聚點(diǎn)進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)刻畫(huà)。并利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法刻畫(huà)了Cauchy網(wǎng)收斂,證明了若Cauchy網(wǎng)收斂當(dāng)且僅當(dāng)Cauchy網(wǎng)存在一個(gè)聚點(diǎn),更進(jìn)一步的證明了一致空間完備當(dāng)且僅當(dāng)一致空間