圖的臨界群研究.pdf

1、圖G的Laplacian矩陣L(G)是研究圖的性質的一個重要工具.人們傳統(tǒng)上用L(G)的特征值來研究圖論，得到很多很好的結論.近二十年來，人們發(fā)現(xiàn)L(G)的Smith標準型和特征值一樣，同為圖的同構精細不變量，自然也是研究圖論的好工具.作者最早接觸到的臨界群概念，是源自Godsil和Royle的著作GTM207.國際著名數(shù)學家Biggs在1999年的時候證明了圖的臨界群能夠被L(G)的Smith標準型所刻劃.本文研究了兩類Cartesi

2、an乘積圖Km×Cn和C4×Cn的Laplacian矩陣，得到了它們的Smith標準型，給出了這兩類圖的臨界詳細群結構和生成樹數(shù)目.對于一般化的圖，我們給出了其Smith標準型的前三個不變因子的精確上界.
　　 下面的是本篇論文得到的主要結果，其中的參數(shù)在正文對應部分都有詳細的介紹.
　　 若n=2s+1，則Km×Cn(m，n≥3)的臨界群為(公式略)其中γ=hs/(n,gs)(n,hs),ψ=nmhs/(n,hs).<

3、br>　　 若n=2s，則Km×Cn(m，n≥3)的臨界群為(公式略)其中(公式略)
　　 由此得到Km×Cn的支撐樹的數(shù)目為(公式略)
　　 若n=2s+1，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 若n=2s且s為奇數(shù)，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 若n=2s且s為偶數(shù)，則C4×Cn(n≥3)的臨界群為(公式略)
　　 由此得到圖C4×Cn的支撐樹的數(shù)目為(公式略

4、)
　　 從而證明了當n≥3時，有以下三角函數(shù)恒等式成立(公式略)
　　 此外，對n≥5階的簡單連通非完全圖G，還得到了它的第三位不變因子的定位：s3(G)≤n，并且s3(G)=n當且僅當G=Kn-e，其中e的任意一條邊Kn；s3(G)=n-1當且僅當G=v·Kn-1，其中n≥5且G由完全圖Kn-1連接一個垂點v所得；s3(G)=n-2當且僅當n=5且G=K5-2e,其由K5刪除兩條不相鄰的邊所得，或G=Ks-C4，其由