關(guān)于無窮維友矩陣若干問題的研究.pdf

1、矩陣?yán)碚撌嵌兰o(jì)隨著工程科學(xué)進(jìn)步而發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)的發(fā)明更加推動(dòng)了計(jì)算數(shù)學(xué)的應(yīng)用。如今，矩陣?yán)碚撟鳛閿?shù)學(xué)研究的一個(gè)基本工具被廣泛應(yīng)用。作為工程計(jì)算的產(chǎn)物，矩陣計(jì)算出現(xiàn)在很多領(lǐng)域。例如：矩陣的奇異值和譜理論出現(xiàn)在對(duì)物質(zhì)光譜的分析；矩陣的擾動(dòng)理論對(duì)大規(guī)模數(shù)據(jù)的誤差分析。一般矩陣固有性質(zhì)的研究對(duì)我們有深刻的指導(dǎo)意義，然而，特殊矩陣的研究也有著同等重要的地位。不僅如此，可以說這些特殊的矩陣是我們整個(gè)矩陣群的非常值得研究的那些元素

2、，就像0和1之對(duì)應(yīng)于自然數(shù)那樣。 本文主要是對(duì)友矩陣以及無窮維友矩陣這類特殊矩陣的一些討論。我們陳列友矩陣的一些定理，其中特別提到了Vandermonde矩陣和Barnett公式。這樣做有兩個(gè)目的：一方面，這些定理本身就有很重要的應(yīng)用，我們特別從友矩陣對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的因式分解的角度說明了這些矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種思想是全新的，從另一個(gè)角度證明了Barnett公式，我們說這個(gè)公式只是分析基礎(chǔ)上的特例化；另一方面，我們統(tǒng)一了研究矩陣

3、的一個(gè)基礎(chǔ)出發(fā)點(diǎn)，從這些理論的推導(dǎo)，我們想更多的看到無窮維的情形。關(guān)于無窮維友矩陣，Vlastimil Ptak作了深入的研究，引入了單向無窮維友矩陣的概念，并且做了幾乎完美的工作。也正是他的工作激發(fā)了我的興趣。 本文分為四個(gè)部分： 第一部分主要說明背景知識(shí)。 第二部分介紹一般意義的友矩陣及其重要性質(zhì)。友矩陣的研究是伴隨著一個(gè)特征多項(xiàng)式展開的，已知一個(gè)矩陣A，它的特征多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的友矩陣與A有著相同的特征值。有限

4、維友矩陣的這個(gè)性質(zhì)使它和(特征)多項(xiàng)式有著密切的聯(lián)系，說明了(特征)根和系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)系進(jìn)一步應(yīng)用到其它矩陣與多項(xiàng)式的關(guān)系，結(jié)合友矩陣我們得到一些特殊矩陣之間纏繞關(guān)系的本質(zhì)。 第三部分將推廣V.Ptak的一些工作，一個(gè)多項(xiàng)式p(z)的無窮維友矩陣的概念以及一些性質(zhì)被系統(tǒng)敘述。VPtak發(fā)現(xiàn)如果w(z)=z<'n>，那么次數(shù)為n的一對(duì)多項(xiàng)式(p(z)，w(z))對(duì)應(yīng)的無窮維友矩陣是一個(gè)特殊的情況，它關(guān)系到Bezoutians、