關(guān)于同余子群r(p)的素測地線定理.pdf

1、曲面Г\H上的素測地線的計(jì)數(shù)問題是數(shù)論中一個(gè)很重要的問題.令πГ(x)表示范數(shù)不超過x的本原共軛類的個(gè)數(shù),則素測地線定理可表述為πГ=x∫0dt/logt+E(li(x)+E(x),這里E(x)為余項(xiàng).在很多情形下,考慮ψГ(x)=∑A(P)將更為方便,這里求和號(hào)取遍所有雙曲共軛類{P}.對(duì)素測地線定理尋求好的余項(xiàng)估計(jì)是很多作者研究的目標(biāo).猜測的余項(xiàng)為E(x)=O(x1/2+ε).
　　 對(duì)于Г=SL(2,Z)為全模群的情形,很

2、多作者研究了素測地線定理的余項(xiàng).上世紀(jì)50年代,A.Selberg[18]引進(jìn)了Selbergzeta函數(shù)Z(s).Z(s)的性質(zhì)與代數(shù)數(shù)域上的L函數(shù)的性質(zhì)有許多相似之處.特別地,對(duì)Z(s),黎曼猜想是成立的,于是人們可以預(yù)期E(x)《x1/2+ε.但注意到Z(s)的階為2,它比ζ(s)多了很多零點(diǎn),因此上述估計(jì)又并非那么顯然.作為Sclbcrg跡公式的一個(gè)推論,不難得到一個(gè)形如O(x3/4+ε)的余項(xiàng).
　　 Iwaniec[

3、6]首先突破了3/4的界限.他證明了E(x)《X35/48+ε.他的證明用到了Selbcrg跡公式,Kuznetsov跡公式,Burgess對(duì)特征和的估計(jì)以及Maass波動(dòng)形式傅里葉系數(shù)的均值估計(jì)等工具.
　　 Luo和Sarnak[14]研究了關(guān)于特征值求和的振蕩現(xiàn)象,他們得到了Σ|tj|≤Tvitj《T5/4V1/8log2T.作為推論,他們給出了余項(xiàng)O(x7/10+ε).Cai[2]通過改進(jìn)Iwaniec的處理方法,將Lu

4、o和Sarnak的結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn)至O(x71/102+ε).結(jié)合類數(shù)公式和Dirichlet L-函數(shù)的相關(guān)知識(shí),Soundararajan和Young[20]證明了E(x)《x25/36+ε.
　　 當(dāng)Г為同余子群情彤,已知的結(jié)果卻要少很多.Sarnak[15]曾經(jīng)給出形如O(x3/4+ε)的余項(xiàng).1994年,Luo,Ruduick和Sarnak[13]在Sclbcrg特征值猜想方面取得了重大進(jìn)展.利用他們的結(jié)果,可以推出πГ

5、(x)=li(x)=li(x)+O(x7/10+ε),
　　 對(duì)所有SL(2,Z)的同余子群成立.
　　 盡管如此,在已發(fā)表的文獻(xiàn)中關(guān)于同余子群情形的結(jié)果并不多.在文章Bykovskii[1]和Soundararajan-Young[20]的啟發(fā)下,本文討論了關(guān)于同余予群Г(p)的素測地線定理,這坐p≥3為素?cái)?shù).我們得劍了一個(gè)漸進(jìn)公式,作為推論,我們給出了余項(xiàng)O(x3/4+ε).當(dāng)"P=1"時(shí)便得到Soundararaj

6、an和Young的結(jié)果.本文主要結(jié)果如下:
　　 定理0.1設(shè)k(u)為滿足∫+∞-xk(u)du=1及∫+∞-∞|k(j)(u)|du《j Y-j,緊支集在(O,y)的無窮次可微函數(shù),x1/2+ε≤Y≤x/logx為一參數(shù),則對(duì)Г=Г(p),我們有πГ(x)=li(x)+(1-1/p4∫(2)∞∑b=1μ(pb)/b2)∫Y0 uk(u)du+E(x;k)+Ο(Y1/2x1/3+ε),及ψГ(x)=x+(1-1/p4∫(2)∞

7、∑b=11/p4μ(pb)/b2)∫Y0uk(u)du+E(x;k)+O(Y1/2x1/3+ε),這里E(x;k)=∑|tj|≤√x(logx)1/sj∫Y0(x+u)sjk(u)du+O(x1/2+ε
　　 這里盡管P為素?cái)?shù),我們可從證明過程看出定理0.1對(duì)P=1是成立的,于是ψГ(x)=x+E(x;k)+O(Y1/2x1/3+ε)=x+O(x25/36+ε),這里用到了Luo-Sarnak的估計(jì)E(x;k)《x7/8+εY-