兩類自同態(tài)代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì).pdf

1、傾斜理論作為Morita等價的自然推廣，在研究Artin代數(shù)的表示理論中起著重要的作用.Cluster范疇及其傾斜理論是cluster代數(shù)的一個范疇化模型.作為cluster范疇的推廣，m-cluster范疇和m-cluster傾斜代數(shù)也隨之而生.遺傳代數(shù)的m-重代數(shù)中投射維數(shù)不超過m的傾斜模與m-cluster范疇中的m-cluster傾斜對象有一一對應(yīng)的關(guān)系，并且m-重代數(shù)中幾乎傾斜模的mutation序列可以實現(xiàn)m-cluster

2、范疇中的m-cluster mutation，這促使進一步研究m-重代數(shù)的傾斜理論.研究傾斜理論主要包含兩方面:一方面是固定代數(shù)的傾斜模之間的關(guān)系;另一方面是傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的表示范疇與自身代數(shù)的模范疇之間的關(guān)系.對于一個忠實的幾乎傾斜模，通過mutation序列可以把傾斜補一一得到.因此mutation在研究傾斜模和傾斜模的自同態(tài)代數(shù)起著重要的作用.
　　設(shè)A是代數(shù)閉域上的有限維遺傳代數(shù)，A的m-cluster范疇Vm(A)作

3、為有界導出范疇Db(A)的一個商范疇，與Db(A)有著密切的聯(lián)系.為了更好的討論它們之間的關(guān)系，定義了m-cluster范疇的一個基本域Sm.對于Sm中的silting對象，這個silting對象也可以看成一個m-cluster傾斜對象，反之亦然.m-cluster范疇的傾斜理論產(chǎn)生了大量研究結(jié)果，因此在基本域Sm中，導出范疇的傾斜理論可以借助m-cluster范疇的傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容來討論.
　　本文對于代數(shù)閉域上的有限維遺傳代

4、數(shù)A，在有界導出范疇Db(A)，m-cluster范疇Cm(A)和m-重代數(shù)A(m)的理論基礎(chǔ)上，討論了有界導出范疇和m-重代數(shù)上傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容，主要討論了Db(A)中silting對象的自同態(tài)代數(shù)和A（m)中傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì).
　　首先，討論了有界導出范疇Db(A)中傾斜理論的相關(guān)內(nèi)容.一方面，在m-重代數(shù)中根據(jù)傾斜mutation可以建立傾斜箭圖，同樣的，在m-cluster范疇中通過m-cluster mut

5、ation三角可以得到傾斜箭圖.受這兩個箭圖的啟發(fā)，我們通過Db（A)中的silting mutation三角構(gòu)建了silting對象的箭圖→(J)ε，并證明了→(J)ε是連通的.對于silting對象的自同態(tài)代數(shù)的箭圖QT，我們說明了QT沒有圈和2-循環(huán)，并且silting對象的自同態(tài)代數(shù)是一個擬-遺傳代數(shù)且它的整體維數(shù)是有限的.
　　另一方面，對于Sm中的一個基本silting對象T，令Γ=EndDT表示silting對象T的

6、自同態(tài)代數(shù)，(J)=addT，W=(J)*(J)[1]是一個三角范疇，可以得到W/add（T[1]）與modΓ模范疇等價.這個結(jié)果說明了三角范疇誘導的商范疇能與silting對象的自同態(tài)代數(shù)的模范疇等價.這意味著可以從一個三角范疇得到很多abelian范疇.對于Sm中的一個幾乎silting對象T，它有m+1個不可分解silting補M0，…，Mm.令Γj=EndD(Mj⊕T)表示Mj所對應(yīng)的silting對象的自同態(tài)代數(shù)，(J)j=a

7、dd(Mj⊕T)，Wj=(J)*(J)[1]，0≤j≤m.同樣的，可得Wj/add(Mj⊕T)[1]與modΓj模范疇等價.進一步，令SMj是一個不可分解投射Γj-模HomD(Mj⊕T，Mj)的單top，則有modΓj/add SMj與Wj/add(Mj⊕Mj-1⊕T)[1]模范疇等價.如果j＞m，則有EndDMj0Γj(≈)(EndDMj00EndD(T)).
　　然后，討論了A(m)中傾斜模的自同態(tài)代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì).給出了A(m

8、)中傾斜模與D+中silting對象之間的一個對應(yīng)關(guān)系.給定一個A(m)中的傾斜模T=T1⊕T2⊕…⊕Tn⊕P，這里每個Ti都是不可分解的，P是A(m)中所有不可分解投射-內(nèi)射模的直和，且degTi≤deg Ti+1.即對于每一個Ti，都存在不可分解的A-模T1i和整數(shù)ki，使得Ti(≈)Ω-k'i，且0≤ki≤ki+1≤m.則(T)'=T'1[k1]⊕T'2[k2]⊕…⊕ T'n[kn]是D+中一個silting對象.同樣的，對于D+

9、中一個silting對象(T)=T1⊕T2⊕…⊕ Tn，這里每個Ti都是不可分解的，且degTi≤deg Ti+1.即對于每一個Ti，都存在不可分解的A-模T'I和整數(shù)ki，使得Ti(≈)TiI[ki]，且0≤ki≤ki+1≤m.則T'=Ω-k1T'i⊕Ω-k2T'2⊕…⊕Ω-knT'n⊕P是一個傾斜A(m)-模.這里P是A(m)中所有不可分解投射-內(nèi)射模的直和.
　　對于一個忠實的幾乎傾斜A(m)-模M，它有t+1個互不同構(gòu)的不

10、可分解補.證明了由相鄰的補所對應(yīng)的傾斜模的自同態(tài)代數(shù)，可以通過一個BB-傾斜模導出等價，即EndA(m)(Xi⊕M)可以通過一個BB-傾斜模和EndA(m)（X+1⊕M）導出等價，0≤i≤t-1.同時可以得到這t+1個自同態(tài)代數(shù)之間的關(guān)系，即D(EndA(m)(X0⊕M)) B0(≈) D(EndA(m)(X1⊕M))B0(≈)D(EndA(m)(X2⊕M)）…
　　Bt-2(≈) D(EndA(m)(Xt-1⊕M))Bt-1(≈

11、) D(EndA(m)(Xt⊕M)).這里Bi都是BB-傾斜模.根據(jù)導出等價的不變性，自同態(tài)代數(shù)EndA(m)(Xi☉M)和自同態(tài)代數(shù)EndA(m)(Xi+1☉M)保持整體維數(shù)和小維數(shù)的有限性.
　　還證明了對于所有A(m)中的傾斜模的自同態(tài)代數(shù)，都能通過一系列的BB-傾斜模的自同態(tài)代數(shù)反復迭代所實現(xiàn).即對于A(m)中的每一對基本的傾斜模T1，T2，總是存在一系列的有限維代數(shù)Λ0,Λ1,.，Λs，它們都是A(m)中的基本傾斜模的自