幾類典型的隨機(jī)微分方程性質(zhì)及應(yīng)用.pdf

1、本文分三部分研究一些典型的隨機(jī)（偏）微分方程的性質(zhì)及其應(yīng)用。第一章主要研究一類特殊的擴(kuò)散過程-斜擴(kuò)散過程(Skew diffusion process)。斜擴(kuò)散過程是作為擴(kuò)散過程的一般化而出現(xiàn)的。自從K.It(o)和H.P.Mckean[1]首次提出斜擴(kuò)散過程以來，這類過程就迅速引起了很多學(xué)者的興趣。斜擴(kuò)散過程與我們一般意義上的擴(kuò)散過程不同之處就在于它增加了在某一點(diǎn)的對(duì)稱局部時(shí)。斜擴(kuò)散過程滿足如下的隨機(jī)微分方程;dXt=μ(Xt)dt+

2、σ(Xt)dWt+βd(L)Xt(α),其中α一般被稱為locus且.|β|≤1.正是由于對(duì)稱局部時(shí)項(xiàng)的存在，使得過程的樣本軌道變得很有意思。當(dāng)過程沒有觸碰到α點(diǎn)時(shí)，斜擴(kuò)散過程樣本軌道與一般意義上擴(kuò)散過程樣本軌道是相同的，一旦當(dāng)它觸碰到locusα點(diǎn)，斜擴(kuò)散過程將會(huì)以1+β/2的概率向上運(yùn)動(dòng)，而以1+β/2的概率向下運(yùn)動(dòng)。值得我們注意的是，如果β=0，那么它就退化成我們一般意義上的擴(kuò)散過程;而如果|β|=1，斜擴(kuò)散過程就變成了反射過程。

3、本章主要以斜O(jiān)U過程為例，研究斜擴(kuò)散過程的性質(zhì)及應(yīng)用。1.1節(jié)給出斜O(jiān)U過程的解的存在唯一性，轉(zhuǎn)移密度，首達(dá)時(shí)分布等過程本身的性質(zhì)，并且給出斜O(jiān)U過程在金融中的一些應(yīng)用。1.2節(jié)研究過程的占位時(shí)計(jì)算。占位時(shí)是隨機(jī)過程很重要的一個(gè)方面，但是關(guān)于過程的占位時(shí)很少有清晰的表達(dá)式。我們?cè)谶@里主要是采用[2]的方法，清晰地給出了斜O(jiān)U過程在出[c，d]之前在區(qū)間[α，b]（c≤α≤b≤d）的占位時(shí)的Laplace變換。
　　在第二章，我們主

4、要是估計(jì)兩類常見的隨機(jī)（偏）微分方程中的參數(shù)。參數(shù)估計(jì)也是隨機(jī)微分方程中很重要的一個(gè)研究方向。我們?cè)谶@章嘗試去估計(jì)一些典型的隨機(jī)微分方程的參數(shù)。在2.1節(jié)中，對(duì)金融信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)中常用的仿射點(diǎn)過程，我們給出了仿射點(diǎn)過程中的參數(shù)的極大似然估計(jì)。2.2節(jié)給出了分式噪聲驅(qū)動(dòng)的拋物型隨機(jī)偏微分方程中參數(shù)的核估計(jì)。
　　第三章主要研究隨機(jī)偏微分方程的性質(zhì)。隨機(jī)偏微分方程是目前概率論學(xué)科中迅速發(fā)展的一個(gè)研究領(lǐng)域。與偏微分方程的分類一樣，隨機(jī)偏微

5、分方程可以分為拋物型，橢圓型，雙曲型。在3.1節(jié)中，我們首先研究一類常見的雙曲方程一波動(dòng)方程。在Jiang等[3]已經(jīng)得到由補(bǔ)償泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的波動(dòng)方程的全局弱解和強(qiáng)解的基礎(chǔ)上，我們考慮了這類方程的長(zhǎng)時(shí)間行為。我們得到，在一定的條件下，這類方程的解是指數(shù)穩(wěn)定的。在3.2節(jié)中，我們考慮帶反射項(xiàng)的拋物型隨機(jī)偏微分方程。我們知道，在很多實(shí)際情況中，驅(qū)動(dòng)項(xiàng)為白噪聲是一種很理想的情況，有時(shí)候驅(qū)動(dòng)項(xiàng)也是時(shí)間相依的，同時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡也不是毫無限制，而是

6、有一定的邊界約束的。因此我們提出了研究分式噪聲驅(qū)動(dòng)的帶有反射邊界的隨機(jī)偏微分方程。我們不僅得到了分式噪聲驅(qū)動(dòng)的帶反射邊界的隨機(jī)熱方程的解的存在唯一性，而且還研究了這個(gè)方程的解的大偏差。在這章最后一節(jié)3.3，我們研究一類由Stepping-stone噪聲驅(qū)動(dòng)的Cahn-Hilliard型隨機(jī)交互系統(tǒng)。Stepping-stone噪聲的存在使得擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)不是李普希茲的，這在處理上增加了很多困難。所以我們首先找到一個(gè)噪聲項(xiàng)系數(shù)是李普希茲的系統(tǒng)