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文檔簡介
1、多元樣條在函數(shù)逼近、計算幾何、計算機輔助幾何設(shè)計和有限元等領(lǐng)域中均有很廣泛的應(yīng)用.在本文中,我們一方面繼續(xù)研究某些有很重要應(yīng)用價值的特殊三角剖分上的多元樣條,著重討論了均勻2-型三角剖分上樣條空間的性質(zhì),同時也考慮了一般三角化四邊形剖分和三維空間中四面體剖分的情況.另一方面積極地將多元樣條理論方面獲得的結(jié)果應(yīng)用到實際工程中,如計算機輔助幾何設(shè)計和有限元方法.主要工作如下:在第二章中,我們討論了2-型三角剖分上異度樣條空間的性質(zhì).考慮當剖
2、分是均勻的情況,這種剖分是一類特殊的貫穿剖分,也稱為四方向剖分,因為其結(jié)構(gòu)簡單,對稱性好,在實際中有很廣泛的應(yīng)用.為了擺脫刻劃樣條次數(shù)和光滑度之間關(guān)系的基本不等式的限制,考慮分別在矩形剖分線和對角剖分線上采用不同的光滑度,從而獲得了更多樣條空間上的豐富結(jié)果.我們主要討論了應(yīng)用比較廣泛的三次和四次樣條空間的情況.借助光滑余因子協(xié)調(diào)法,我們構(gòu)造了各個空間的具有局部支集的樣條基函數(shù),并利用這些基函數(shù)構(gòu)造保持高階精度的樣條擬插值算子,深入討論了
3、它們的逼近性質(zhì),給出了逼近誤差的估計,同時利用擬插值算子討論了樣條空間的逼近階.在第三章中,我們研究了二元樣條函數(shù)在計算機輔助幾何設(shè)計中的應(yīng)用.非均勻有理B樣條(NURBS)方法已經(jīng)成為用于曲線曲面描述的廣為流行的技術(shù).但是,采用張量積形式的傳統(tǒng)NURBS方法也存在一些不足.其一,由于基函數(shù)是一元B樣條基的張量積,使得其參數(shù)域只能是矩形區(qū)域.而對于非規(guī)則的參數(shù)域,只能由矩形域上的NURBS曲面經(jīng)過裁剪和拼接得到.但是,一方面裁剪是昂貴的
4、,而且有數(shù)值誤差;另一方面,要在曲面的接縫處保持光滑,即使是近似的平滑也是困難的.從控制頂點的角度看,張量積型的基函數(shù)使得控制頂點在拓撲上必須位于矩形網(wǎng)格上.這意味著,NURBS曲面的大部分控制頂點的存在只是為了滿足這種拓撲約束,它們并不含有特別的幾何信息,因此是冗余的.其二,張量積的基函數(shù)使得曲面的次數(shù)升高.例如,一張p×q次的B樣條曲面雖然在等參數(shù)線上是p或者q次的參數(shù)曲線,但整個曲面的次數(shù)卻為p+q次.代數(shù)次數(shù)較高的曲面使得與之相
5、關(guān)的運算變得更復(fù)雜,甚至影響曲面的幾何性質(zhì),如出現(xiàn)多余的拐點等.這些缺陷,都是張量積型曲面本身不能克服的.而現(xiàn)階段對非張量積型參數(shù)曲面的研究只限于三角域(單純形)上的Bernstein-Bézier(B-B)曲面,由于參數(shù)域的不同,不可能直接將三角域上的B-B曲面轉(zhuǎn)化到四邊形區(qū)域上去.為了解決上述問題,我們采用具有局部支集的二元B樣條基函數(shù)構(gòu)造非張量積型的NURBS曲面.對于矩形參數(shù)域,我們利用2-型三角剖分上各樣條空間中的基函數(shù)系統(tǒng)地
6、構(gòu)造了二次、三次和四次非張量積型NURBS曲面.由于每個二元B樣條基具有單獨的局部支集,并可以根據(jù)各種參數(shù)域的形狀選取滿足相應(yīng)光滑度和支集形狀的樣條基,而且整體次數(shù)較低,從而能夠很好地克服上述傳統(tǒng)NURBS曲面由張量積引起的問題.與這些基函數(shù)所對應(yīng)的控制頂點也不再要求必須位于矩形網(wǎng)格上.在第四章中,我們討論了樣條有限元方法.現(xiàn)階段,樣條函數(shù)在有限元方法中的應(yīng)用多數(shù)是一元的B樣條或者張量積型的B樣條,而對于多元樣條,只有少數(shù)的文獻研究了2
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