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文檔簡介
1、在第一章中,討論了Caristi不動點定理與Banach壓縮映射原理的等價性.已有的研究結(jié)果表明,Caristi不動點定理與著名的Ekeland變分原理等價,同時,它們都等價于空間的完備性,另外,在一定條件下,Banach壓縮映射原理與空間的完備性也是等價的,因此本文將考慮Caristi不動點定理與Banach壓縮映射原理的等價性.由定理的條件不難推出,Banach壓縮映射一定是滿足Caristi不動點定理的映射,但反之顯然是不一定成立
2、的,因此,值得研究的問題是,滿足Caristi不動點定理條件的映射在什么條件下構(gòu)成Banach壓縮映射.本章證明了,在一定條件下,存在某一等價度量d*,使得滿足Caristi不動點定理條件的映射F關(guān)于d*是Banach壓縮映射,因此,Caristi不動點定理在一定條件下與Banach壓縮映射原理等價. 在第二章中,討論了與Ekeland變分原理相關(guān)的一些問題.鑒于Ekeland變分原理的重要性,因此討論它的穩(wěn)定性是非常必要的.E
3、keland變分原理的穩(wěn)定性是由Attouch和Riahi建立的,這些結(jié)論是建立在集合收斂的概念的基礎(chǔ)上的:即Painleve-Kuratowski收斂;Mosco收斂;有界Hausdorff收斂以及更進一步的圖收斂(當(dāng)考慮集合是函數(shù)的圖時). 在本文中,我們將用這些方法討論在完備的度量空間中,與Ekeland變分原理相關(guān)問題的穩(wěn)定性.在某種緊性條件或自反Banach空間下,作者證明了ε-解是下半連續(xù)的,而我們可以給出一個例子說
4、明:在Ekeland變分原理中,Banach空間下,按照一致度量,ε-解并不總是下半連續(xù)的,并證明了ε-解在一般的度量空間下是幾乎下半連續(xù)的. 另外,史樹中證明了Caristi不動點定理與Ekeland變分原理是等價的,并且由證明過程可以知道Ekeland變分原理中的ε-極值點包含在Caristi不動點定理中對應(yīng)映射的不動點集中,鑒于前面分析的Ekeland變分原理中集值映射ε-解的性質(zhì),因此在前面的基礎(chǔ)上,也討論了Carist
5、i不動點定理中不動點集的穩(wěn)定性質(zhì). 另外一個問題是討論Ekeland變分原理的推廣.我們知道Ekeland變分原理中的映射是一個廣義實值泛函,但在實際中所考慮的問題往往是多方面的,即是向量值的,因此另外一個值得考慮的問題是:能否將Ekeland變分原理中的泛函F推廣為向量值函數(shù).于是本文就考慮這個問題,試著將Ekeland變分原理中的泛函F推廣為向量值映射. 在第三章中,討論了集值映射向量優(yōu)化問題解的連續(xù)性質(zhì).向量優(yōu)化理
6、論已被廣泛的應(yīng)用到了許多領(lǐng)域,國內(nèi)外對向量優(yōu)化問題的研究也有許多的成果,這些成果主要是研究向量值函數(shù)最優(yōu)解的存在性與穩(wěn)定性,其中包括有效解,弱有效解以及加權(quán)解的單值映射向量優(yōu)化問題解的存在性與穩(wěn)定性,因此本文就考慮了集值映射向量優(yōu)化問題解的連續(xù)性質(zhì). 在第四章中,討論了變分不等式解的存在性,我們知道變分不等式的解不一定唯一,那么變分不等式的解集是否穩(wěn)定?即當(dāng)構(gòu)成變分不等式的映射發(fā)生微小變化時,其解集是否也產(chǎn)生微小變化?有例子表明
7、這個結(jié)論是否定的,已有的文獻中討論了擬變分不等式解集的本質(zhì)連通區(qū)的存在問題和極小本質(zhì)集的存在問題. 我們也知道,研究解集的本質(zhì)集和本質(zhì)連通區(qū),很大程度上是處于在多解情形時對解集進行選擇和精煉.為進一步有效地選擇和精煉有關(guān)的解集,Xiang提出了一些具有進一步精煉與選擇意義的本質(zhì)點和本質(zhì)集的概念,即強本質(zhì)點和強本質(zhì)集的概念.因此本文就從精煉與選擇的意義下,進一步討論了擬變分不等式解集的極小強本質(zhì)集和本質(zhì)連通區(qū)的存在問題,證明了每個
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