一類三次哈密頓系統(tǒng)在五次多項式擾動下的分支問題.pdf

1、有關(guān)奇異環(huán)分支出極限環(huán)個數(shù)的問題是分支理論的重要課題之一,本文討論了一類具有四個雙曲鞍點和五個中心奇點的三次哈密頓系統(tǒng),存在一個由四個鞍點和連接它們的異宿軌道組成的奇異環(huán)S(4)及四個分別由兩個鞍點和連接它們的異宿軌道組成的奇異環(huán)S(2).利用定性分析和分支理論的方法,借助于計算機(jī)軟件,對這類三次哈密頓系統(tǒng)在五次多項式擾動下的奇異環(huán)分支問題進(jìn)行了研究.第1章介紹了奇異環(huán)的研究現(xiàn)狀及本文的主要結(jié)論:即系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)臄_動下至少可產(chǎn)生14個極限

2、環(huán)并給出了它們的分布.其中為實參數(shù).第2章為預(yù)備知識,首先考慮上述系統(tǒng)在五次齊次多項式下的擾動,即此時P(x,y)=為實參數(shù).系統(tǒng)經(jīng)過平移變換后,五次擾動多項式可化為然后再計算出系統(tǒng)在各異宿軌道的Melnikov函數(shù)以及在焦點處的跡.第3章首先給系統(tǒng)一個適當(dāng)?shù)臄_動δ1由三個奇異環(huán)S(2)的穩(wěn)定性與對應(yīng)焦點穩(wěn)定性相同,由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知在三個焦點外側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個極限環(huán);給系統(tǒng)一個更小的擾動δ2,0<

3、‖δ2|《|δ2‖,使其產(chǎn)生一個雙同宿環(huán)和過三個鞍點的異宿環(huán)S(3)且環(huán)的穩(wěn)定性與焦點的穩(wěn)定性相同,從而由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知,系統(tǒng)在奇異環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個極限環(huán);繼續(xù)給系統(tǒng)一個更小的擾動,δ3,0<‖δ3|《‖δ2‖《‖δ1‖,使過三點的異宿環(huán)S(3)破裂產(chǎn)生過兩點的異宿環(huán)S(2)且穩(wěn)定性發(fā)生改變,同時產(chǎn)生一個同宿環(huán)目.環(huán)的穩(wěn)定性與焦點的穩(wěn)定性相同,由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知奇異

4、環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生個極限環(huán);再給系統(tǒng)一個更小的擾動δ4,0<|δ1‖《‖δ3|《|δ2|《|δ1‖,使過兩點的異宿環(huán)破裂產(chǎn)生同宿環(huán)且穩(wěn)定性發(fā)生改變,則由Poincare-Bendixon環(huán)域定理在奇異閉軌內(nèi)側(cè)鄰域至少產(chǎn)生一個極限環(huán);最后給系統(tǒng)一個更小的擾動δ5,0<‖δ5|《δ4‖《‖δ3《|δ2‖《‖δ1‖,使所有同宿環(huán)適當(dāng)破裂,從而構(gòu)成環(huán)域,再由Poincare-Bendixon環(huán)域定理在同宿環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個極