兩種半線性偽雙典型積分-微分方程的非協(xié)調(diào)混合有限元方法.pdf

1、A B S T R A C Te n to l i cSI nt h i sp a p e r ，t h en o n c o n f o r m i n g m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s a r es t u d i e d f o rs e m i —l i n e a rp s e u d o - h y p e r b o l i c p a r t i a l i

2、 n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ．D e p e n d i n g o nt h e p h y s i c a lq u a n t i t i e so fi n t e r e s t ．t w on u m e r i c a ls c h e m e s a r e d i s c u s s e d ．F i r s t ，i n t r o

3、d u c i n gt h e a u x i l i a r y v a r i a b l eP = 一( a V u ￡+ b V u + f o c V u d r ) ，w e f o r m u l a t et h ew e a k f o r m u l a t i o n f o rm i x e d f i n i t e e l e m e n tm e t h o d a n ds e m i —d i s c

4、 r e t en o n c o n f o r m i n gm i x e de l e m e n ts c h e m e ．A n dw ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o f t h es o l u t i o no fs e m i —d i s c r e t em i x e ds c h e m ea n dt h eo p t i

5、 m a le r r o re s t i m a t e s f o rs e m i —d i s c r e t es c h e m e ．S e c o n d ，w e i n t r o d u c et h ea u x i l i a r yv a r i a b l eP = a V u t of o r m u l a t ea n o t h e rs e m i —d i s c r e t em i x e

6、 de l e m e n t s c h e m e ．A n d t h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o na n d t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o rs e m i —d i s c r e t es c h e m e a r ed e r i v e d ．K

7、E Y W O R D S ：P s e u d o - h y p e r b o l i c p a r t i a l i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，S e m i l i n e a r ，N o n —c o n f o r m i n gm i x e de l e m e n tm e t h o d ，I n t e r p o l a t

8、 i o nt e c h n i q u e ，E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s ，E r r o re s t i m a t e s ．I I內(nèi)蒙古大學(xué)碩士學(xué)位論文引言現(xiàn)代的科學(xué)、技術(shù)、工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述，很多近代自然科學(xué)的基本方程本身就是微分方程，人們一直用偏微分方程來描述，解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，不斷地取得了顯著的成效．遺憾的是，絕大多數(shù)偏微分方程定

9、界問題的解不能以實(shí)用的解析形式來表示．這就產(chǎn)生了理論和應(yīng)用的矛盾，只能用近似的方法求出滿足實(shí)際需要的近似解．【2 4 】為了更好的數(shù)值模擬復(fù)雜的實(shí)際問題，人們運(yùn)用了許多數(shù)值方法，并且各種數(shù)值方法具有不同的適應(yīng)問題，針對(duì)不同的問題有著各自的優(yōu)勢．有限元方法是數(shù)值計(jì)算中最重要的數(shù)值近似計(jì)算方法，無論是在實(shí)際應(yīng)用還是理論研究上都有更大的影響和意義，不僅解決問題的效能高而且有相對(duì)完備的理論基礎(chǔ)，因此得到廣泛的應(yīng)用．有限元方法( 如混合有限元、間

10、斷有限元、連續(xù)有限元、時(shí)空有限元) 能夠適應(yīng)復(fù)雜區(qū)域問題等．常見的數(shù)值方法還有有限體積法，在基本原則下可有不同的變化和發(fā)展，特別是可以和其他方法相結(jié)合，進(jìn)一步解決更困難更為復(fù)雜的實(shí)際問題．近年來，偏微分方程的混合有限元方法備受國際計(jì)算數(shù)學(xué)界關(guān)注( f 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 1 ) ，隨著該理論的不斷發(fā)展與完善，陸續(xù)出現(xiàn)了許多新的混合有限元方法，如非協(xié)調(diào)混合有限元方法f 1 7 ，1 8 ，1 9 1 ，分裂混合

11、有限元方法[ 4 ，5 ，7 ，1 6 ] ，H 1 一G a l e r k i n 混合有限元方法『6 ，8 ，9 ，2 0 ] ，擴(kuò)展混合有限元方法[ 2 1 ，2 2 ，2 3 】等．相比傳統(tǒng)的混合元方法，非協(xié)調(diào)混合元方法在誤差分析過程中能夠避免了如橢圓投影的使用，直接利用插值技巧，得到了相應(yīng)的未知函數(shù)的最優(yōu)階誤差估計(jì)．本文研究偽雙曲型積分微分方程的兩種矩形非協(xié)調(diào)混合有限元方法，并得到了半離散誤差估計(jì)．本文的結(jié)構(gòu)安排如下，第一章

12、對(duì)于半線性偽雙曲型積分一微分方程引入中間變量P = 一( a V u t + b V u + Ⅸc V u d ' r ) ，給出了混合有限元方法的弱形式和半離散格式，并且證明了其解的存在唯一性，進(jìn)一步對(duì)半離散格式進(jìn)行了最優(yōu)收斂階誤差估計(jì)．第二章引入了新的中間變量p = a V u ，證明了其解的存在唯一性，且對(duì)其進(jìn)行了半離散誤差估計(jì)．在本文中主要應(yīng)用了G r o n w a U 引理，C a u c h y —S c h w