Darcy-Stokes問題的一致收斂有限單元及離散的de Rham復(fù)形.pdf

1、奇異攝動問題是指最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)含有小參數(shù)ε的微分方程，其解存在指數(shù)邊界層或內(nèi)部層.奇異攝動問題廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、彈性力學(xué)、量子力學(xué)、光學(xué)、和最優(yōu)控制等領(lǐng)域.例如，流體力學(xué)中的Darcy-Stokes方程，Navier-Stokes方程，多孔媒質(zhì)的流體方程，化學(xué)反應(yīng)中的反應(yīng)方程等等.這類問題中含有擾動參數(shù)，這種參數(shù)可以反映一定的物理性質(zhì)，也可以人為的引進(jìn).攝動方程的真解往往會在求解區(qū)域的某個(gè)子區(qū)域內(nèi)變化劇烈，此類問題重要但是其真解具有不確

2、定性.
　　由于奇異攝動問題的解通常和擾動參數(shù)ε有關(guān)，我們就從這個(gè)角度出發(fā)，構(gòu)造一致收斂的有限單元，收斂性分析與ε無關(guān).本文主要研究了Darcy-Stokes問題，給出了二維空間中的H(div)協(xié)調(diào)的一致收斂的矩形元和三維空間中的H(div)協(xié)調(diào)的一致收斂的立方體元和四面體元，進(jìn)行了誤差分析，也相應(yīng)給出了相應(yīng)的離散的de Rham復(fù)形.本篇博士從下面三個(gè)部分來討論.
　　首先，我們討論的是二維空間中的Darcy-Stokes

3、的奇異攝動問題.構(gòu)造并分析了一個(gè)H(div)協(xié)調(diào)的有限元DSR14，是速度的有限元空間，速度空間的元素有14個(gè)自由度，進(jìn)而可以證明它是一致收斂的，然后進(jìn)行了收斂性分析，接著，又進(jìn)一步簡化了速度有限元空間，得到另一個(gè)速度的有限元空間DSR12，自由度個(gè)數(shù)12，同樣可以證明它的一致收斂性.最后構(gòu)造了相應(yīng)的離散的deRham復(fù)形.
　　其次，我們繼續(xù)討論三維空間中的Darcy-Stokes的奇異攝動問題，構(gòu)造了立方體元DSC33.速度有

4、限元空間Vh是H(div)協(xié)調(diào)的，也即是說，任意的vh∈Vh的法向量跨過單元邊界連續(xù)，同時(shí)切向量也跨過單元邊界平均連續(xù)，因此Vh是H1平均連續(xù).我們證明了這個(gè)單元的一致收斂性，且與擾動數(shù)ε無關(guān).另一方面，我們構(gòu)造了一個(gè)離散的deRham復(fù)形.
　　最后，我們構(gòu)造了Darcy-Stokes問題的四面體元DST20，這個(gè)單元簡化了文[93]給出的單元.速度有限元空間Vh是H(div)協(xié)調(diào)的，任意的vh∈Vh的法向量跨過單元邊界連續(xù)，同