初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽余數(shù)定理和綜合除法

1、第 1 頁(yè)第 1 講 余數(shù)定理和綜合除法知識(shí)總結(jié)歸納一．除法定理：和 是兩個(gè)一元多項(xiàng)式，且 ，那么恰好有兩個(gè)多項(xiàng)式 及 ，使 ( ) f x ( ) g x ( ) 0 g x ? ( ) q x ( ) r x，其中 ，或者 比 次數(shù)小。 ( ) ( ) ( ) ( ) f x q x g x r x ? ? ? ( ) 0 r x ? ( ) r x ( ) g x這里 稱為被除式， 稱為除式， 稱為商式， 稱為余式. ( ) f

2、x ( ) g x ( ) q x ( ) r x二．余數(shù)定理：對(duì)于一元 次多項(xiàng)式 ，用一元多項(xiàng)式 去除 ，那么余式是一個(gè) n11 1 0 ( ) n nn n f x a x a x a x a ?? ? ? ? ? ? ? x c ? ( ) f x數(shù)。設(shè)這時(shí)商為多項(xiàng)式 ，那么有 ( ) g x也就是說， 去除 時(shí)，所得的余數(shù)是 . x c ? ( ) f x ( ) f c三．試根法的依據(jù)〔因式定理〕：假如 ，那么 是 的一個(gè)因式

3、.反過來，假如 是 的一個(gè)因式，那么 。 ( ) 0 f c ? x c ? ( ) f x x c ? ( ) f x ( ) 0 f c ?四．試根法的應(yīng)用：假定 是整系數(shù)多項(xiàng)式，又設(shè)有理數(shù) 是 的根〔 是互質(zhì)的11 1 0 ( ) n nn n f x a x a x a x a ?? ? ? ? ? ? ?p c q ? ( ) f x p q 、兩個(gè)整數(shù)〕 ，那么 是常數(shù)項(xiàng) 的因數(shù)， 是首項(xiàng)系數(shù) 的因數(shù). p 0 a q n

4、a特殊的，假如 ，即 是首 1 多項(xiàng)式，這個(gè)時(shí)候 ，有理根都是整數(shù)根。 1 n a ? ( ) f x 1 q ?典型例題一. 多項(xiàng)式的除法【例 1】 ， ，試求 除以 所得的商式 和余式 .3 2 ( ) 4 5 2 3 f x x x x ? ? ? ? 2 ( ) 2 1 g x x x ? ? ? ( ) f x ( ) g x ( ) Q x ( ) R x【例 2】 ， ，試求 除以 所得的商式5 4 3 2 ( ) 3 4

5、 2 35 28 18 f x x x x x x ? ? ? ? ? ? 3 2 ( ) 2 13 g x x x x ? ? ? ? ( ) f x ( ) g x和余式 . ( ) Q x ( ) R x【例 3】 , ，試求 除以 所得的商式 和余式 .4 3 2 ( ) 5 7 10 2 3 f x x x x x ? ? ? ? ? 2 ( ) 1 g x x ? ? ( ) f x ( ) g x ( ) Q x ( )

6、R x二. 綜合除法【例 4】 用綜合除法計(jì)算： .4 3 2 ( 5 3 1) ( 1) x x x x x ? ? ? ? ? ? ?【例 5】 用綜合除法求 除以 所得的商式 和余數(shù) . ( ) f x ( ) g x ( ) Q x R〔1〕 ， ；2 ( ) 2 5 3 f x x x ? ? ? ( ) 3 g x x ? ?〔2〕 ， .3 2 ( ) 3 2 1 f x x x ? ? ?1 ( ) 3 g x x ?

7、?【例 6】 用綜合除法計(jì)算： .4 3 2 (6 5 3 4) (2 1) x x x x x ? ? ? ? ? ?【例 7】 先用綜合除法求出 除以 所得的商式和余式，不再作除法，寫出 除以 的商式和余式. ( ) f x ( ) g x ( ) f x ( ) h x， .3 2 ( ) 2 4 3 f x x x x ? ? ? ? ( ) 3 g x x ? ?〔1〕 ；〔2〕 . ( ) 2( 3) h x x ? ?1

8、( ) ( 3) 2 h x x ? ?三. 余數(shù)定理和多項(xiàng)式理論【例 8】 ， ，求余數(shù) 的值.4 3 ( ) 2 4 1 f x x x x ? ? ? ? ( ) 2 g x x ? ? R【例 9】 除以 的余數(shù) 是多少？3 2 ( ) 2 3 8 14 f x x x x ? ? ? ? 2 3 x ? R【例 10】 〔1〕求 除 所得的余數(shù)； 1 x ?5 4 2 ( ) 7 4 6 5 f x x x x ? ? ? ?

9、〔2〕求 除 所得的余數(shù). 2 2 x ?5 4 2 ( ) 7 4 6 5 f x x x x ? ? ? ?第 3 頁(yè)1. 分解因式：〔1〕 .3 2 4 6 a a a ? ? ?〔2〕 .4 3 2 3 3 11 6 a a a a ? ? ? ?〔3〕 .4 3 2 2 3 4 7 13 6 x x y x y xy y ? ? ? ?2. 假設(shè) 除以 所得的余數(shù)為 7，除以 所得的余數(shù)為 5，試求 的值.3 2 ( ) 2

10、3 f x x x ax b ? ? ? ? 1 x ? 1 x ? a b 、3. 多項(xiàng)式 除以 , 和 所得的余數(shù)分別為 1, 2, 3，試求 除以 所 ( ) f x 1 x ? 2 x ? 3 x ? ( ) f x ( 1)( 2)( 3) x x x ? ? ?得的余式.4. 假設(shè) 能被 整除，求 及 的值.5 5 4 x qx r ? ? 2 2) x ? （ q r5. 分解因式： .3 2 4 5 x x ?

11、?6. 分解因式： .4 3 2 2 3 4 4 x x x x ? ? ? ?7. 分解因式： .4 3 2 2 7 4 4 x x x x ? ? ? ?8. 分解因式： .5 4 3 2 2 7 12 14 10 3 x x x x x ? ? ? ? ?9. 分解因式： .3 3 ( 2 ) ( 2 ) x y x y x y ? ? ?10. 分解因式： .3 2 2 3 6 5 3 2 x x y xy y ? ? ?11.

12、 分解因式： .3 2 8 4( ) 2( ) x a b c x ab bc ca x abc ? ? ? ? ? ? ?12. 分解因式： .3 2 ( 1) ( 3) ( 2) a x ax a x a ? ? ? ? ? ?13. 多項(xiàng)式 能被 整除，求 的值.5 4 3 ( ) 3 8 11 f x x x x x k ? ? ? ? ? 2 x ? k14. 求證： ， ， 都是 的因式，并分解因式. a b ? b c ?

13、 c a ?2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b ? ? ? ? ?15. 一個(gè)整系數(shù) 3 次多項(xiàng)式 ，有三個(gè)不同的整數(shù) ，使 ( ) f x 1 2 3 , , a a a又設(shè) 為不同于 的隨意整數(shù)，試證明： . b 1 2 3 a a a ，， ( ) 1 f b ?16. , , , 是正整數(shù)，那么 能被 整除. a b c d 4 4 1 4 2 4 3 a b c d x x x