第二章 基本定理 第三講 奇解包絡(luò)

1、隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案教案編寫人:李相鋒,李萬軍 1第三講 第三講 奇解與包絡(luò) 奇解與包絡(luò)（4 課時）目的要求：了解包絡(luò)和奇解的定義，掌握包絡(luò)和奇解的之間的關(guān)系，掌握奇解的求法。重點：包絡(luò)和奇解的求法。難點：奇解及其求法。教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法。教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合。教學(xué)過程：本節(jié)討論常微分方程的奇解以及奇解的求法。2.4.1 奇解 奇解在本章 2.2 節(jié)的例 2 中，我

2、們已經(jīng)看到方程 的通解是 ，還有一23 3 dy y dx ? 3 ( ) y x C ?解 ，除解 外，其余解都滿足唯一性，只有解 所對應(yīng)的積分曲線上的點 0 y ? 0 y ? 0 y ?的唯一性都被破壞. 這樣的解在許多方程中存在.例 1 求方程2 1 dy y dx ? ?的所有解.解 該方程的通解是sin( ) y x C ? ?此外還有兩個特解 和 。由于該方程右端函數(shù)的根號前只取+號，故積 1 y ? 1 y ? ?分曲

3、線如圖 2-13 所示，圖 2-13顯然解 和 所對應(yīng)的積分曲線上每一點，解的唯一性均被破壞。 1 y ? 1 y ? ?本節(jié)主要討論一階隱式方程(1.8) ( , , ) 0 F x y y? ?隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案教案編寫人:李相鋒,李萬軍 3能存在于不滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域上.進一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。例 2 判斷下列方程(1)(2)2 2 dy x

4、y dx ? ? 2 dy y x dx ? ? ?是否存在奇解。解 (1)方程右端函數(shù) ，均在全平面上連續(xù)，故方程(1)在 2 2 ( , ) , 2 y f x y x y f y ? ? ? ?全平面上無奇解。(2) 方程右端函數(shù) 在區(qū)域 上有定義且連續(xù)， ( , ) 2 f x y y x ? ? ? y x ?在 上有定義且連續(xù)，故不滿足解的存在唯一性定理條件的點集只 1 12y fy x? ??y x ?有 y = x，

5、即若方程(2)有奇解必定是 y = x，然而 y = x 不是方程的解，從而方程(2)無奇解。2.4.3 包絡(luò)線及奇解的求法 包絡(luò)線及奇解的求法下面，我們從幾何的角度給出一個由一階方程(1.9)或(1.8)的通積分 ( , , ) 0 x y C ? ?求它奇解的方法。當任意常數(shù) C 變化時，通積分 給出了一個單參數(shù)曲線族(C)，其中 ( , , ) 0 x y C ? ?C 為參數(shù)，我們來定義(C)的包絡(luò)線。定義 定義 2.4 設(shè)給定

6、單參數(shù)曲線族(2.10) ( ) : ( , , ) 0 C x y C ? ?其中 C 為參數(shù)， 對所有變量連續(xù)可微.如果存在連續(xù)可微曲線 L，其上任一點均有(C)中某一曲線與 L 相切，且在 L 上不同點，L 與(C)中不同曲線相切，那么稱此曲線 L 為曲線族(C)的包絡(luò)線 包絡(luò)線或簡稱包絡(luò) 包絡(luò)。見圖 2-14圖 2-14定理 定理 2.6 方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡(luò)線 L 是(1.9)的奇積分曲線。證明 證明 只須