圓壓軸八大模型題(3)-雙切線組合

1、圓壓軸題八大模型題（三） 圓壓軸題八大模型題（三）瀘州市七中佳德學(xué)校 瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪 易建洪引言： 引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會(huì)在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來(lái)各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見(jiàn)的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺(tái)階性地幫助考生解決問(wèn)題。類型 類型 3 雙切線組合徑在

2、直角邊——直徑在直角三角形的直角邊上.Rt△PBC 中，∠ABC＝90°，Rt△PBC 的直角邊 PB 上有一點(diǎn) A，以線段 AB 為直徑的⊙O 與斜邊相切于點(diǎn) D.【分析】(1)由 PC= ,△POD∽△PCB 得 ，∴ ，∴r=3. 2 2 6 8 10 ? ? DO POBC PC ? 86 10r r ? ?(2)設(shè) BC=CD=x，在 Rt△PBC 中，82+x2=(4+x)2,得 BC=x=6.(3)在 Rt△PD

3、O 中，42+r2=(2+r)2,解得 r=3.(4)由△PDA∽△PBD 得：PD2=PA?PB.(5)由△PDA∽△PBD 得 ，PB=8, 1 tan 2PD PA ADPB PD DB ? ? ? ? ?∴PD=4,PA=2,AB=6.設(shè) AD=x,DB=2x,在 Rt△ADB 中，x2+(2x)2=62,∴AD=x= . 6 55(6)由∠DEC=∠ADB=90°得 OC∥AD.(7)由 AB=2,則 OB=1,又

4、 BC= OC= ,在 Rt△OBC 中，BE⊥OC，得 OE= ,由 22 1 ( 2) 3 ? ? 33中位線定理得：AD=2OE= .DB= ,由△PDA∽△PBD 得： ,設(shè) PA=x,則 2 332 6312PA ADPD DB ? ?PD= x,在 Rt△PDO 中，( x)2+1=(x+1)2 得 x=2,∴PA=2,PD=2 . 2 2 2O PDCB A(4)PD2＝PA?PB;(5)PB＝8，tan?＝ 12，求 P

5、A 和 AD.A BCDPOα(6)求證:OC∥AD（變式）.(7)若 AB＝2,BC＝ ,求 AD、PD、PA 的長(zhǎng).圖(1) 圖(2) 圖(3)(1)PB＝8,BC＝6,求⊙O 的半徑 r.(2)PD＝4,PB＝8,求 BC 的長(zhǎng).(3)PD＝4,PA＝2,求⊙O 的半徑 r.DOECB A P由 QA2＋OA2＝OQ2，得 QA＝4．在 Rt△PBQ 中，PA＝PB，QB＝OQ＋OB＝8，由 QB2＋PB2＝PQ2，得 82＋PB

6、2＝（PB＋4）2，解得 PB＝6，∴PA＝PB＝6．∵OP⊥AB，∴BF＝AF＝ AB．又∵D 為 PB 的中點(diǎn)，∴DF∥AP，DF＝ PA＝3，∴△DFE∽△QEA，∴＝ ＝ ，設(shè) AE＝4t，F(xiàn)E＝3t，則 AF＝AE＋FE＝7t，∴BE＝BF＋FE＝AF＋FE＝7t＋3t＝10t，∴＝ ＝ ．【點(diǎn)撥】由切線長(zhǎng)定理引出的雙母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形，常涉及用到等腰“三線合一” 、 “射影定理

7、” 、中位線定理、勾股定理，平行線分線段成比例，切割線定理等的綜合運(yùn)用。因此善于分解圖形，由線與角之間關(guān)系，構(gòu)建基本圖形模型，當(dāng)出現(xiàn)量與量之間有多重聯(lián)系的時(shí)候，?？紤]設(shè)元建方程求解問(wèn)題?！咀兪竭\(yùn)用】1.（2016 ?青海西寧）如圖，D 為⊙O 上一點(diǎn)，點(diǎn) C 在直徑 BA 的延長(zhǎng)線上，且∠CDA=∠CBD．（1）求證：CD 是⊙O 的切線；（2）過(guò)點(diǎn) B 作⊙O 的切線交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，BC=6， ．求 BE 的長(zhǎng)．（12 分

8、）【分析】（1）連 OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根據(jù)已知條件得到△CDA∽△CBD 由相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得 CD=4，由切線的性質(zhì)得到BE=DE，BE⊥BC 根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．（1）證明：連結(jié) OD，∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，又∵AB 是⊙O