新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)可直接打印版

1、1高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論大全 高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論大全(新課標(biāo) 新課標(biāo))必修 必修 11、集合的含義與表示一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無(wú)序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：{元素|元素的特征}，例如 } , 5 | { N x x x ? ? 且2、常用數(shù)集及其表示方法（1）自然數(shù)集 N（又稱(chēng)非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、…… （2）正整數(shù)集 N*或 N

2、+ ：1、2、3、……（3）整數(shù)集 Z：-2、-1、0、1、…… （4）有理數(shù)集 Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實(shí)數(shù)集 R：全體實(shí)數(shù)的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合3、元素與集合的關(guān)系：屬于∈，不屬于?例如：a 是集合 A 的元素，就說(shuō) a 屬于 A，記作 a∈A4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合 A 中的每一個(gè)元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合

3、B 的子集(如圖 1)，記作 或 . B A ? A B ?若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，記作 Q P ?（2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如圖 2). A B 或 B A. ? ? ? ?（3）集合相等：若集合 A 中的元素與集合 B 中的元素完全相同則稱(chēng)集合 A 等于集合 B,記作 A=B. B A A B

4、 B A ? ? ? ? ,5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若 ， ，則 B A ? C B ? C A ?（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的 真子集.6、含有 個(gè)元素的集合,它的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有 –1 個(gè)；非空子集有 –1 個(gè)(即不計(jì)空集)；非空的真 n 2n 2n 2n子集有 –2 個(gè). 2n7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集（1）一般地，由所有屬于 A 又屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集．記作 A

5、∩B（讀作＂A 交 B＂） ，即 A∩B=｛x|x∈A，且 x∈B｝ ．（2）一般地，對(duì)于給定的兩個(gè)集合 A,B 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 A,B 的并集．記作 A∪B（讀作＂A 并 B＂） ，即 A∪B=｛x|x∈A，或 x∈B｝ ．（3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不屬于 A 的元素構(gòu)成的集合，叫做 A 在 U 中的補(bǔ)集，記作 , A CU ? ? A , U | A CU ? ? ? x x x 且注

6、：討論集合的情況時(shí)，不要發(fā)遺忘了 的情況。 ? ? A8、映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念如果 A，B 都是非空的數(shù)集，那么 A 到 B 的映射 f：A→B 就叫做 A 到 B 的函數(shù)，記作 y=f(x)，其中 x∈A，y∈B.原象的集合 A 叫做函數(shù) y=f(x)的定義域，象的集合 C（C B）叫做函數(shù) y=f(x)的值域.函數(shù)符號(hào) y=f(x)表示“y 是 x 的函 ?數(shù)” ，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù) f(x).9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的

7、對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如? ? ?? ?? ?31 22 xx y00??xx10、求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問(wèn)題，必須要考慮其定義域）①分式的分母不為零； 0 1 , 11 : ? ? ? ? x x y 則 如②偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零； 0 5 , 5 : ? ? ? ? x x y 則 如③對(duì)數(shù)的底數(shù)大于０且不等于１； 1 0 ), 2 ( log : ? ? ? ? a a x y a 且 則 如④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于０；

8、 0 2 ), 2 ( log : ? ? ? ? x x y a 則 如⑤指數(shù)為０的底不能為零； ,則 x m y ) 1 ( : ? ? 如 0 1 ? ? m11、函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）（1）奇函數(shù)滿(mǎn)足 ， 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ) ( ) ( x f x f ? ? ?（2）偶函數(shù)滿(mǎn)足 ， 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)； ) ( ) ( x f x f ? ?注：①具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

9、 ②若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則 0 ) 0 ( ? f③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類(lèi)：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮）當(dāng) 時(shí)，都有 ，則 在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升； 2 1 x x ? ) ( ) ( 2 1 x f x f ? ) (x f當(dāng) 時(shí)，都有 ，則 在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。 2 1 x x ? ) ( ) ( 2 1 x f x f

10、? ) (x f函數(shù) 在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō) 在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做單調(diào)（增/減）區(qū)間 ) (x f ) (x f13、一元二次方程 2 0 ax bx c ??? ( 0) a ?（1）求根公式:（2）判別式： aac b b x 24 22 , 1? ? ? ? ac b 4 2 ? ? ?（3） 時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根； 時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根； 時(shí)方程無(wú)實(shí)根。 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?（4）根與系數(shù)的關(guān)系—

11、—韋達(dá)定理: ， ab x x ? ? ? 2 1 ac x x ? ? 2 114、二次函數(shù)：一般式 ； 兩根式 c bx ax y ? ? ? 2 ( 0) a ? ) )( ( 2 1 x x x x a y ? ? ? ( 0) a ?（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；（2）對(duì)稱(chēng)軸方程為：x= ；2 4 ( , ) 2 4b ac ba a? ? ab2 ?（3）當(dāng) 時(shí)，圖象是開(kāi)口向上的拋物線，在 x= 處取得最小值 0 ? a ab2 ?

12、 ab ac44 2 ?當(dāng) 時(shí)，圖象是開(kāi)口向下的拋物線，在 x= 處取得最大值 0 ? a ab2 ? ab ac44 2 ?（4）二次函數(shù)圖象與 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式 的關(guān)系： x ?時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)； 時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)） ； 時(shí)，無(wú)交點(diǎn)。 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?15、函數(shù)的零點(diǎn)使 的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如 是函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)。 0 ) ( ? x f 0 x 1 0 ? ? x 1 ) ( 2 ? ? x x f

13、注：函數(shù) 有零點(diǎn) 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 方程 有實(shí)根 ? ? x f y ? ? ? ? x f y ? x ? ? ? 0 ? x f16、函數(shù)零點(diǎn)的判定：B A A,B(圖 1)或B A(圖 2)A B ?A B ?A CU Axy03必修 必修 230、邊長(zhǎng)為 的等邊三角形面積 a 243 a S ? ? 正31、柱體體積： ，錐體體積： 球表面積公式： ， 球體積公式： h 底 柱＝S V h 錐 底 ＝ S 31 V 2

14、4 R S ? ? 球334 R V ? ?32、四個(gè)公理：① 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。② 過(guò)不在一條直線上 不在一條直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。③ 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且僅有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。④ 平行于同一直線的兩條直線平行（平行的傳遞性） 。33、等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(如圖)34、兩條直線的位置關(guān)系：? ?? ? ?? ?

15、?異面直線 相交 平行 共面直線直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面上；（2）直線在平面外（包括直線與平面平行，直線與平面相交）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行；（2）兩個(gè)平面相交35、直線與平面平行：定義 定義 一條直線與一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這條直線與這個(gè)平面平行。判定 判定 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一直線平行，則該直線與此平面平行。性質(zhì) 性質(zhì) 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。3

16、6、平面與平面平行：定義 定義 兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩平面平行。判定 判定 若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平 行。性質(zhì) 性質(zhì) ① 如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。② 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行。37、直線與平面垂直：定義 定義 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。判定 判定 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩相交直線垂直，則這條

17、直線與這個(gè)平面垂直。性質(zhì) 性質(zhì) ①垂直于同一平面的兩條直線平行。②兩平行直線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直。38、平面與平面垂直：定義 定義 兩個(gè)平行相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直。判定 判定 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。性質(zhì) 性質(zhì) 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。39、三角形的五“心”（1） 為 的外心（各邊垂直平分線的交點(diǎn)）.外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離

18、相等 O ABC ?（2） 為 的重心（各邊中線的交點(diǎn)）.重心將中線分成 2：1 的兩段 O ABC ?（3） 為 的垂心（各邊高的交點(diǎn)）. O ABC ?（4） 為 的內(nèi)心（各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)）. 內(nèi)心到三邊的距離相等 O ABC ?（5） 為 的 的旁心（各外角平分線的交點(diǎn)）. O ABC ? A ?40、直線的斜率：(1) 過(guò) 兩點(diǎn)的直線，斜率 ， （ ） ? ? ? ? 2 2 1 1 , , , y x B y x A1 21

19、 2x xy y k ?? ? 2 1 x x ?（2）已知傾斜角為 的直線，斜率 （ ? ? tan ? k ) 900 ? ?（3）曲線 在點(diǎn)（ 處的切線，其斜率 ) (x f y ? ) , 0 0 y x ) ( 0 x f k ? ?41、直線位置關(guān)系：已知兩直線 ，則 2 2 2 1 1 1 : , : b x k y l b x k y l ? ? ? ?1 // 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? ? ? ? ?

20、 ? ? k k l l b b k k l l 且特殊情況：（1）當(dāng) 都不存在時(shí)， ；（2）當(dāng) 不存在而 時(shí)， 2 1,k k 2 1 //l l 1 k 0 2 ? k 2 1 l l ?42、直線的五種方程 ：①點(diǎn)斜式 (直線 過(guò)點(diǎn) ，斜率為 )． 1 1 ( ) y y k x x ??? l ) , ( 1 1 y x k②斜截式 (直線 在 軸上的截距為 ，斜率為 ). y kx b ?? l y b k③兩點(diǎn)式 (直線過(guò)兩

21、點(diǎn) 與 ). 1 12 1 2 1y y x xy y x x?? ? ?? ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x④截距式 （ 分別是直線在 軸和 軸上的截距，均不為 0） 1 ? ? byax b a, x y⑤一般式 (其中 A、B 不同時(shí)為 0)；可化為斜截式： 0 Ax By C ??? BC x BA y ? ? ?43、 （1）平面上兩點(diǎn) 間的距離公式：|AB|= ) , ( ), , ( 2 2 1

22、1 y x B y x A 22 122 1 ) ( ) ( y y x x ? ? ?（2）空間兩點(diǎn) 距離公式|AB|= ) , , ( ), , , ( 2 2 2 1 1 1 z y x B z y x A 22 122 122 1 ) ( ) ( ) ( z z y y x x ? ? ? ? ?（3）點(diǎn)到直線的距離(點(diǎn) ，直線 ： ). 0 02 2| | Ax By C dA B?? ??0 0 ( , ) P x y l

23、0 Ax By C ???44、兩條平行直線 與 間的距離公式： 0 A 1 ? ? ? C By x 0 A 2 ? ? ? C By x2 22 1B AC C d?? ?注：求直線 的平行線，可設(shè)平行線為 ，求出 即得。 0 A ? ? ? C By x 0 A ? ? ? m By x m45、求兩相交直線 與 的交點(diǎn)：解方程組 0 A 1 1 1 ? ? ? C y B x 0 A 2 2 2 ? ? ? C y B x ?

24、? ?? ? ?? ? ?0 A0 A2 2 21 1 1 C y B xC y B x46、圓的方程：①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 其中圓心為 ，半徑為 2 2 2 ( ) ( ) x a y b r ???? ) , ( b a r②圓的一般方程 . 2 2 0 x y Dx Ey F ?????其中圓心為 ，半徑為 ，其中 ＞0 ) 2 , 2 ( E D ? ? 24 2 2 F E D r ? ? ? 2 2 4 D E F ??