用高等數(shù)學(xué)解決高考問題

1、用高等數(shù)學(xué)知識來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題 用高等數(shù)學(xué)知識來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題李鳳平2006 年的考試說明明確指出，數(shù)學(xué)科考試要“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能” 。因此有些大學(xué)知識通過變化巧妙地滲透到試題中。因此在日常教學(xué)中，作為中學(xué)教師要有意識的向?qū)W生介紹一些高等數(shù)學(xué)中的公式和定理，這樣不但可以增加數(shù)學(xué)知識，擴(kuò)大解題途徑，還可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓他們懂得，站得高才能看得遠(yuǎn)。1、函數(shù)的凹

2、凸性例 1（94 年高考）已知函 ，判斷 ? ? x a x f log ? ? ? ? ? ? ? ? ? R x , x , R x 1, a 0 a 2 1 且 且與 ? ?? ? ?? ?2x x f 2 1 的大小，并加以證明。 ? ? ? ? ? ? 2 1 x f x f 21 ?解： 。∵ ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 x x ax ax a 2 1 x f x f log log log ? ? ? ? ?

3、? ?? ? , 0 , 2 1 x x∴ （當(dāng)且時僅當(dāng) x1=x2 時取”=”號） ? ?? ? ?? ? ? 2x x x x 2 12 1當(dāng) a>1 時,有 ? ?22 12 1 2x xax x a? ?? ? ?? ?? log log∴ ，即 ≤ ? ?? ? ?? ?2x x f 2 1 ? ? 2x xax x a2 12 121?? log log ? ? ? ? ? ? 2 1 x f x f 21 ?當(dāng)

4、 0〈a〈1 時,有 ，即 ≥ ? ?? ? ?? ?2x x f 2 1 ? ?22 12 1 2x xax x a? ?? ? ?? ?? log log ? ? ? ? ? ? 2 1 x f x f 21 ?（當(dāng)且時僅當(dāng) x1=x2 時取”=”號）本題作完以后應(yīng)該給學(xué)生如下知識：結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識向?qū)W生滲透滿足的函數(shù)稱為凸函數(shù)；滿足 的函數(shù)稱為凹 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 2x x f x f

5、x f 21 2 12 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 2x x f x f x f 21 2 12 1函數(shù)。這樣在以選擇題出現(xiàn)時，可以用數(shù)形結(jié)合的思想，用圖象來解此類問題。練習(xí) 1 在 ，四個函數(shù)中，當(dāng) 時，使 ? ? ? ? 22211 , x x f x x f ? ? ? ? ? ? x x f x f x21 4 3 log , 2 ? ? 1 2 1 ? ? x x成立的函數(shù)是 ( )

6、 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 2x x f x f x f 21 2 12 1A B CD ? ? 211 x x f ? ? ? 22 x x f ? ? ? x x f 2 3 ? ? ? x x f21 4 log ?D1yxz又 f(x)在 x=1 時有極值 2a+b=0 ∴a=1 故 ； ? ? 0 1 f ? \ ? ? 3 x 2 x

7、x f 2 ? ? ?（2）設(shè) ，則 ? ? x xe x u ? ? ? ? ? 1 x e xe e x u x x x ? ? ? ? \∵ 時，∴u(x)為[0,1]上的增函數(shù) 1 x 0 ? ? ? ? 0 x u ? \∴∵∴ 的值域是 ； e u 0 ? ? ? ? ? ? 4 1 u u f2 ? ? ? ? ? x g ? ? 3 e 2 e 4 2 ? ? ? ,（3）設(shè) =? ? ? ? 3 e 2 e e

8、 f x h x x 2 x ? ? ? ? 212121 e 22x ? ? ? ? ?? ? ?? ?∵曲線上任意兩點的連線的斜率恒大于 ， a1 a ?∴故 a1 a 21 ? ? ? 0 a2 a a 2 2? ? ? 0 a ?所以 a 的取值范圍為：? ? 0 , ? ?在第三問的解法中使用了高等數(shù)學(xué)中的拉格郎日中值定理：若函數(shù) f(x)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。則在(a,

9、b)內(nèi)至少存在一點 使得 。 ? ? ? ? ? ? ?a ba f b f f ?? ? ?使得困難問題簡單化，同時大大的簡化了運(yùn)算。5、空間向量(1) 例 5 在棱長 AB=AD=2,AA1=3 的長方體 AC1 中,點 E 是平面 BCC1B1 上動點,點 F 是 CD 的中點。(2) 求二面角 B1─AF─B 的大小。解：建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，試確定 E 的位置,使 D1E⊥平面 AB1F。則 A(0,0,0), F(1,2

10、,0), B1(2,03), D1(0,2,3)令 E(2,y,z), 則 =(2,y-2,z-3), =(1,2,0), E D1 AF, ∵D1E⊥平面 AB1F ? ? 3 , 0 , 2 1 ? AB∴即 解得 ? ?? ? ?? ?? ?0 AB E D0 AF E D1 11? ?? ????35 z1 y∴ 即為所求。 ? ?? ? ??35 1 2 E , ,(3) 當(dāng) D1E⊥平面 AB1F 時, , ,