現(xiàn)代控制理論知識點匯總

1、第一章 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式１． 狀態(tài)空間表達式n 階 Du Cx yBu Ax x? ?? ? ? 1 : ? r u 1 : ? m y n n A ? : r n B ? : n m C ? : r m D ? :A 稱為系統(tǒng)矩陣，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；Ｂ為輸入（或控制）矩陣，表示輸入對每個狀態(tài)變量的作用情況；C 輸出矩陣，表示輸出與每個狀態(tài)變量間的組成關系，Ｄ直接傳遞矩陣，表示輸入對輸

2、出的直接傳遞關系。２． 狀態(tài)空間描述的特點①考慮了“輸入－狀態(tài)－輸出”這一過程，它揭示了問題的本質(zhì)，即輸入引起了狀態(tài)的變化，而狀態(tài)決定了輸出。②狀態(tài)方程和輸出方程都是運動方程。③狀態(tài)變量個數(shù)等于系統(tǒng)包含的獨立貯能元件的個數(shù)，n 階系統(tǒng)有 n 個狀態(tài)變量可以選擇。④狀態(tài)變量的選擇不唯一。⑤從便于控制系統(tǒng)的構成來說，把狀態(tài)變量選為可測量或可觀察的量更為合適。⑥建立狀態(tài)空間描述的步驟：a 選擇狀態(tài)變量；b 列寫微分方程并化為狀態(tài)變量的一階微分

3、方程組；c 將一階微分方程組化為向量矩陣形式，即為狀態(tài)空間描述。⑦狀態(tài)空間分析法是時域內(nèi)的一種矩陣運算方法，特別適合于用計算機計算。３． 模擬結構圖（積分器 加法器 比例器）已知狀態(tài)空間描述，繪制模擬結構圖的步驟：積分器的數(shù)目應等于狀態(tài)變量數(shù)，將他們畫在適當?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量，然后根據(jù)狀態(tài)空間表達式畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。４． 狀態(tài)空間表達式的建立① 由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達

4、式：a 將各個環(huán)節(jié)（放大、積分、慣性等）變成相應的模擬結構圖；b 每個積分器的輸出選作 ，輸入則為 ；c 由模擬圖寫出狀態(tài)方程和輸出方程。 i x i x ?② 由系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式：如電路系統(tǒng)。通常選電容上的電壓和電感上的電流作為狀態(tài)變量。利用 KVL 和 KCL 列微分方程，整理。③由描述系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)方程式（微分方程）或傳遞函數(shù)，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，即實現(xiàn)問題。實現(xiàn)是非唯一的。方法：微分方程 系統(tǒng)函數(shù) 模擬

5、結構圖 狀態(tài)空間表達式 ? ? ?注意：a 如果系統(tǒng)函數(shù)分子冪次等于分母冪次，首先化成真分式形式，然后再繼續(xù)其他工作。b 模擬結構圖的等效。如前饋點等效移到綜合反饋點之前。p28c 對多輸入多輸出微分方程的實現(xiàn)，也可以先畫出模擬結構圖。5．狀態(tài)矢量的線性變換。也說明了狀態(tài)空間表達的非唯一性。不改變系統(tǒng)的特征值。特征多項式的系數(shù)也是系統(tǒng)的不變量。特征矢量 的求解：也就是求 的非零解。 i p 0 ) ( ? ? x A I i ?狀態(tài)空間

6、表達式變換為約旦標準型（Ａ為任意矩陣）：主要是要先求出變換矩陣。a 互異根時，各特征矢量按列排。b 有重根時，設３階系統(tǒng)， ＝ ， 為單根，對特征矢量 ， 求法與前面相同， 稱作 的廣義特征矢量，應滿足 1 ? 2 ? 3 ? 1 p 3 p 2 p 1 ?。 1 2 1 ) ( p p A I ? ? ? ?系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)：特征根互異；有重根。方法：系統(tǒng)函數(shù) 部分分式展開 模擬結構圖 狀態(tài)空間表達式。 ? ? ?6．由狀態(tài)空間表達式

7、求傳遞函數(shù)陣 ) (s W的矩陣函數(shù)［ ］ 表示第 j 個輸入對第 i 個輸出的傳遞關系。 D B A sI C s W ? ? ? ? ?1 ) ( ) ( r m? ij W ij W狀態(tài)空間表達式不唯一，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 是不變的。 ) (s W子系統(tǒng)的并聯(lián)、串聯(lián)、反饋連接時，對應的狀態(tài)空間表達及傳遞函數(shù)陣 。方法：畫出系統(tǒng)結構圖，理清關系，用分塊矩陣表 ) (s W換矩陣 T 的求法。２．若 A 的特征值有相同的，線性變換（

8、 ）為約當標準型， ，能控性充要條件：①對應于相同特征值的部 Tz x ? AT T J 1 ? ?分，每個約當塊對應的 中第一列元素沒有全為０的。 ②對應于互異特征根部分，對應的 中各列元素沒有全為０的。變換矩 TC TC陣 T 的求法。這種方法能確定具體哪個狀態(tài)不能觀。但線性變換比較復雜，關鍵是求 、 、 。 T 1 ? T TC判別方法（二）：直接從Ａ，C 判別能觀性的充要條件是 能觀性判別矩陣 的秩為 n。? ? ? ? ???

9、? ? ? ? ?????1 n CACACN ?在單輸入系統(tǒng)中， 是一個 的方陣； N n n?而多輸入系統(tǒng)， 是一個 的矩陣，可通過 N n nm? ) ( T MM rank rankM ?六．能控性與能觀性的對偶原理１．若 ， ， ，則 與 對偶。 T A A 1 2 ? T C B 1 2 ? T B C 1 2 ? ) , , ( 1 1 1 1 C B A ? ) , , ( 2 2 2 2 C B A ?對偶系統(tǒng)的傳遞函

10、數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。且他們的特征方程式是相同的。２． 與 對偶，則 能控性等價于 能觀性， 能觀性等價于 能控性。 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?時變系統(tǒng)的對偶原理？？？？七．能控標準型和能觀標準型對于狀態(tài)反饋，化為能控標準型比較方便；對于觀測器的設計及系統(tǒng)辨識，能觀標準型比較方便。１． 能控標準Ⅰ型（如果已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式）①判別系統(tǒng)的能控性。②計算特征多項式 ，即可寫出 。③求變換矩陣 0 111 | | a a

11、 a A I nnn ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? A， 。④求 ，計算 ， ，也可以驗證是否? ? ? ???? ? ? ?????11111ncA pA ppT ?1 11 ] , , ][ 1 , , 0 , 0 [ ? ? ? B A Ab b p n ? ?11?c T? ? ? ???? ? ? ???? ??10011 ? b T b c 1 c cT c ?有 。 111 c c AT T A? ?２．

12、能控標準Ⅱ型① 判別系統(tǒng)的能控性。②計算特征多項式 ，即可寫出 。 0 111 | | a a a A I nnn ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? A③求變換矩陣 。④求 ，計算 ， ，也可以驗證是否有 ] , , , [ 12 b A Ab b T nc? ? ?12?c T? ? ? ???? ? ? ???? ??00112 ? b T b c 2 c cT c ?。 212 c c AT T A? ?３． 能觀標準