曲面共形映射的koebe39;s迭代法

1、摘 要在幾何和物理模型中，共形映射有著非常重要的作用?，F在存在的方法只能解決拓撲結構比較簡單的曲面，如單連通虧格為0 的曲面。我們的方法可以解決拓撲結構較為復雜的曲面。通過單值化定理，我們可以知道所有的閉度量曲面都可以共形地映射成為三種典型空間中的一種，球面，平面和雙曲圓盤。本文推廣了封閉曲面的單值化定理到帶邊界緊曲面情形。所有帶邊界度量緊曲面都可以共形地映到典型黎曼面的圓域上。并給出了具體的計算方法及其收斂速度的估計和證明。對于虧格為

2、0 的多連通曲面，我們可以用廣義的K o e b e ’s 迭代方法來解決計算共形映射的問題。我們先給出傳統(tǒng)的K o e b e ’s 方法的計算算法，然后給出廣義的K o e b e ’s 方法的算法和證明。廣義的K o e b e ’8 方法是基于傳統(tǒng)的K o e b e ’8 方法而得到的，但廣義的K o e b e ’s 算法收斂得更快，迭代次數更少，提高了計算效率。而且廣義的K o e b e ’s 算法可以處理一般的度量曲面

3、，而傳統(tǒng)的K o e b e ’s 方法只能處理平面區(qū)域。我們同時也給出了廣義的K o e b e ’s 方法收斂階估計及證明。對于高虧格、帶邊界的緊度量曲面，我們將離散的磁c c i 流和K o e b e ’s 迭代法兩種方法結合在一起來解決共形映射的計算問題。對于帶邊界虧格為1 的緊曲面，應用基于曲面m c c i 流的共形映射的計算方法，將其萬有覆蓋空間映射到平面R 2 上，并使其邊界分量映射成歐幾里德圓。本文給出算法收斂階的估

4、計和證明。對于帶多個邊界的虧格9 ( 夕> 1 ) 的曲面，應用曲面硒c c i 流和K o e b e ’s 迭代，將其萬有覆蓋空間共形地映到雙曲平面Ⅱ噩2 上，并使其所有邊界分量被映射成雙曲圓。實驗結果顯示我們的方法是普適，穩(wěn)定及實用的。我們的方法在曲面匹配和形狀特征的領域中有很多的應用。關鍵詞：單值化，共形，全純，黎曼度量，m c c i 流，K o e b e 方法A b s t r a c tm f l | l | l

5、I f l | | 1 1 1 I l I I 舢f I l | 1 0 l I | l I l | l I I ㈣Y 1 8 5 3 3 2 7C o n f o r m 越m a p p i n g p l a y s a ni m p o r t a n tr 0 1 ei ng e o m e t r i ca n d p h y 8 i c a lm o d ．e H n g ．M o s te 菇s t i n gt e c

6、 h ．n i q u e s c a no n l yh a n d l et h e8 u r f a c ew i t h s i m p l et o p o l 0 -酉e s ．I nt h i sw o r k ，w ep r o p o s ea n o v e lm e t h o d ，w h i c hc a nh a n d l es u r f 如髑們t hm o r ec o m p l i c a t E

7、! dt o p o l o g i e s ．A c c o r 出n gt ot h e U n i f o r m i z a t i o nt h e o r e m ，以lc l o s e dm e t r i cs u r f 如e sc a nb ec o n f o r m a l l ym a p p e d t oo n eo ft h et h r e ec a n o n i c ms p a c e s ，t

8、 h es p h e r e ，t h ep l a n ea n d t h eh y p e r b o H cd i s k ．I nt h e o r y ' t h eu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e m f D rs u r f a c e sw i t hb o u n d a r i e sh o l d s ，w h i c hc l 面I 璐t h a ta l

9、l c o m p a u c t m e t r i cs u r f a c e s w i t h b o u n d ．a r i e sc a nb ec o n f o r m a l l ym 印p e dt o c i r c l ed o m a i 璐o n R i e m a n ns u r f 如e s ．T h i 8w o r kp r o p o s e s t h ec o m p u t a t i

10、o n a lm e t h o d 8f o ro p e ns u r f 如eu n i f o r m a t i o n ，t h ec o m r e r g e n c er a t ei se s t i m a t e da n d p r o v e d ．F b r g e n l l s0c o m p a c tm e t r i c s u r f a c e sw i t hb o u n d 缸i e 8

11、 ，w e c a na p p l y t h eg e n -e r a l i z e dK o e b e ’sm e t l l o d ．C o I l v e n t i o n a lK o e b e ’8a l g o r i t h mo n l yh a n d l e 8p l a n a rr e g i o l l s ，g e n e r a d j z e dK o e b e ’sm e t h o

12、dc a nh a n d l eg e n e r a lm e t r i cs u r f 她e 8 ． F u r -t h e r m o r e ，t h eg e n e r a l i z e d K e o b e ’sm e t h o dc o n v e r g e sq u a d r a t i c a l l y f a u s t e r t h a l I lt h a to ft h ec o l l

13、 、廠e n t i o n a l m e t h o d ．W ．ea k og i v et h ep r o o ff o r t h ec o I l v e r g eo r d e ro f t h eg e n e r a l i z e dK o e b e ’sm e t h o d ．F b r h i g h g e I m ss u r f a u c ew i t h 眥1 t i p l y b o u n

14、 d 棚了c o m p o n e n t s ，w e c o m b i n e d i s -c r e t e s u r 勤L c eR i c c if l o wa n d K o e b e ’si t e r a t i o n t o c o m p u t e t h e c a n o l l i c a lc o n f o r m a lm a p p i n g ．F b ra g e n l l so

15、n e s u r f a c ew i t hI I ] 【u l t i p l eb o u n d a l 了c o m p o n e I l t 8 ，w ea p p l yd i 8 -c r e t es l l r f a 屺e m c c if l o w ，t om a p i t 8u n i v e r s a lc o v e r i n gs p a c eo n t ot h eE u c l i d

16、e a np l a n e ⅡP ，s u c ht h a t 越1b o u n d a 巧c o m p o n e n t s a r em a p p e dt oE u c H d e a n c i r c l e s ．W b e 8 t i m a t et h ec o n v e r g e n c e r a t ea I l d 百v ed e t a - i l e dp r o o f ．F b ra 1

17、 1 i g hg e m l j s ( 9 > 1 ) s u r f a c ew i t hm u l t i p l eb o u n d 齜yc o m p o n e n t s ，w ec o m b i n e 山s c r e t es u r f a c ef b c c if l o ww i t hK o e b e ’si t e r a t i o nt om a pi t 8m l i v e r