17哈密頓函數(shù)守恒原理

1、第十七講哈密頓函數(shù),本講導(dǎo)讀,廣義動(dòng)量守恒原理,哈密頓函數(shù),非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué),拉格朗日動(dòng)力學(xué)的推廣,如拉格朗日函數(shù)L不包含某個(gè)廣義坐標(biāo)q?, 即?L/ ? q? =0, 這種廣義坐標(biāo)叫作循環(huán)坐標(biāo)(可遺坐標(biāo)). 于是, 拉格朗日方程(5.29)給出,即廣義動(dòng)量守恒,如果循環(huán)坐標(biāo)是系統(tǒng)的整體平移坐標(biāo), 拉格朗日函數(shù)不包含整體平移坐標(biāo),即拉格朗日函數(shù)L對(duì)于整體平移是不變的, 廣義動(dòng)量守恒原理就歸結(jié)為動(dòng)量守恒原理. 若拉格朗日函數(shù)不包含整體

2、轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo), 拉格朗日函數(shù)L對(duì)于整體轉(zhuǎn)動(dòng)不變, 拉格朗日函數(shù)是各向同性的, 則廣義動(dòng)量守恒原理歸結(jié)為角動(dòng)量守恒原理. 在矢量力學(xué)中, 動(dòng)量守恒原理和角動(dòng)量守恒原理是以牛頓第三定律為先決條件(內(nèi)力的矢量和為零, 內(nèi)力的力矩和為零), 而廣義動(dòng)量守恒原理則并不以牛頓第三定律先決條件.,一、廣義動(dòng)量守恒原理,例1 質(zhì)量為M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 質(zhì)量為m的光滑小楔子沿著大楔子的光滑斜邊滑下. 求這兩個(gè)楔子的加速度.,解: 大楔子在

3、水平方向運(yùn)動(dòng), 小楔子在大楔子斜邊上運(yùn)動(dòng). 系統(tǒng)有兩個(gè)自由度. 取桌面上的固定點(diǎn)O, 大楔子質(zhì)心相對(duì)于O點(diǎn)坐標(biāo)記作X. 小楔子質(zhì)心相對(duì)于大楔子斜邊底面而沿著斜邊的坐標(biāo)記作q, X和q可作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo).,主動(dòng)力是兩個(gè)楔子所受的重力, 大楔子的勢(shì)能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不起變化, 可以不考慮. 只要討論小楔子的勢(shì)能就夠了. 計(jì)算動(dòng)能的時(shí)候要注意, 小楔子的速度分量不僅僅是沿斜邊的, 而目還有隨著大楔子在水平方向運(yùn)動(dòng)的速度.,于是, 拉格朗日方程給

4、出運(yùn)動(dòng)方程,大楔子的加速度以及小楔子相對(duì)于大楔子的加速度為,拉格朗日函數(shù)L是時(shí)間、廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù), L的時(shí)間變化率,在主動(dòng)力全是保守力的情況下, 利用完整系統(tǒng)的拉格朗日方程把?L/ ? q?改寫, 即得,這樣,二、哈密頓函數(shù)守恒原理,定義哈密頓函數(shù),如拉格朗日函數(shù)L不是時(shí)間顯函數(shù), 哈密頓函數(shù)H守恒,哈密頓函數(shù)是什么？,因?yàn)樽鴺?biāo)變換不顯含時(shí)間, 所以,于是,因?yàn)?這樣, 我們得到,在坐標(biāo)變換不顯含時(shí)間的條件下, 動(dòng)能是廣義速度

5、的二次齊次式, 哈密頓函數(shù)就是機(jī)械能.,如果約束是不穩(wěn)定的或者約束是穩(wěn)定的, 但變換ri＝ri(q,t) 顯含時(shí)間,,廣義速度二次函數(shù)T2 一次函數(shù)T1 零次函數(shù)T0,哈密頓函數(shù),,這樣, 在變換式顯含時(shí)間的條件下, 哈密頓函數(shù)H并非機(jī)械能,只能姑名之為廣義能量.,注意: 矢量力學(xué)關(guān)于機(jī)械能守恒的條件為作用力是保守力. 可是, 哈密頓函數(shù)守恒即機(jī)械能守恒卻還要求坐標(biāo)變換式不

6、顯含時(shí)間. 這兩種根源是否矛盾呢? 原來(lái), 這兩者并不是一回事. 矢量力學(xué)所說(shuō)的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的力,包括主動(dòng)力和約束力, 而拉格朗日函數(shù)L和哈密頓函數(shù)H中的勢(shì)能則只對(duì)應(yīng)廣義力, 即只包括主動(dòng)力, 不包括理想約束力. 可見(jiàn)這兩種勢(shì)能并不相同, 機(jī)械能守恒的條件當(dāng)然也就不同了.,用拉格朗日方程求解完整系力學(xué)問(wèn)題的一般程序： (a)分析系統(tǒng)所受的約束.如系統(tǒng)確為完整系, 就根據(jù)系統(tǒng)的自由度選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo). (b)建立各質(zhì)

7、點(diǎn)的矢徑與廣義坐標(biāo)的變換方程. 為方便起見(jiàn), 盡可能使變換方程不顯含時(shí)間. 如果能直接完成下一步(c), 則此步驟可以省略. (c)用廣義坐標(biāo)和廣義速度表示動(dòng)能, 用廣義坐標(biāo)表示廣義力. 對(duì)于保守系統(tǒng), 寫出廣義坐標(biāo)表示的勢(shì)能. 最后寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù). 注意，這里的動(dòng)能和勢(shì)能一般是指慣性系中的動(dòng)能和勢(shì)能,若使用非慣性系, 則應(yīng)加上與慣性力相應(yīng)的勢(shì)能. 它可能不是只依賴于廣義坐標(biāo)和時(shí)間, 而是和廣義速度有關(guān)的廣義勢(shì)能

8、. (d)列出拉格朗日方程. (e)利用初始條件解出拉格朗日方程. (f)分析結(jié)果.,例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)的汽車上有一諧振子在光滑水平槽中往返振動(dòng).取q軸沿振動(dòng)方向, 原點(diǎn)在諧振子的平衡點(diǎn). 選這汽車為參考系, 諧振子的,顯然,所以H守恒. 另一方面，由于動(dòng)能T是廣義速度的二次單項(xiàng)式，所以H就是機(jī)械能．誠(chéng)然，,改取地面為參考系,這也是慣性系.如果諧振子的振動(dòng)槽平行于汽車行進(jìn)方向，則,v0是汽車的速度. 因

9、 所以H守恒.但動(dòng)能T不是廣義速度的二次齊次式，所以H不是機(jī)械能．事實(shí)上,如汽車是勻加速運(yùn)動(dòng), 其速度為at, 仍以地面為參考系, 則,這時(shí),,所以H不守恒. 另一方面, T 不是廣義速度二次齊次式, 所以H也不是機(jī)械能. 事實(shí)上，,例2 試按“拉格朗日方式”研究單擺的運(yùn)動(dòng).,解: 單擺有一個(gè)自由度. 取角坐標(biāo)作為廣義坐標(biāo). 主動(dòng)力是重力mg, 是保守力. 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),拉格朗日方

10、程給出運(yùn)動(dòng)方程,我們不直接解這個(gè)微分方程. 考慮到 L 不顯含時(shí)間, 哈密頓函數(shù)守恒. 哈密頓函數(shù),這是機(jī)械能. 這樣,上式可改寫為,這是一階微分方程.為求解這個(gè)微分方程, 應(yīng)區(qū)分三種情況,這時(shí),隨著擺球的上升,它的角速度不斷減小并將在某個(gè)角度成為零, 然后,擺球折回而下降. 方程可變?yōu)?做代換,兩邊積分,這類積分不能用初等函數(shù)表出,它叫第一類橢圓積分.,擺球從?＝0到?所經(jīng)歷的時(shí)間是周期的四分之一. 相應(yīng)地從?＝0變到?／2. 這樣,

11、 周期,其中的積分叫第一類完全橢圓積分,通常記作K(k).如果把被積函數(shù)展為冪級(jí)數(shù), 然后逐項(xiàng)積分, 則,原方程可以化為,?隨t增長(zhǎng)而增大. t?? ,? ??, 單擺無(wú)限地逼近豎直向上的位置.,這時(shí)沒(méi)有折回現(xiàn)象, 原方程化為,兩邊積分, 仍得橢圓積分,擺球從?＝0到?所經(jīng)歷的時(shí)間是繞懸掛點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)周期的二分之一. 所以,廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)超過(guò)了系統(tǒng)的實(shí)際的自由度. 盡管可以用廣義坐標(biāo)把達(dá)朗伯原理寫為,但這些虛位移并不獨(dú)立, 受到非完整約束方程

12、的約束,對(duì)于線性非完整約束，約束方程可表示為,其中A??和A ?只是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù), 取微分,,三、不完整約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué),由于虛位移不是時(shí)間的函數(shù), 所以?t =0, 所以,即,把上述方程組各個(gè)方程分別乘以待定常數(shù)??并與達(dá)朗伯方程相加, 得,雖然虛位移不獨(dú)立,我們總可以選擇乘子,使得,把上述動(dòng)力學(xué)方程和約束條件聯(lián)立起來(lái)就可以解出問(wèn)題.,如所有的主動(dòng)力是保守力, 相應(yīng)的勢(shì)能為V, 則廣義主動(dòng)力可表為,則,最后一項(xiàng)正是廣義力形式,

13、 對(duì)應(yīng)第?個(gè)約束的約束力的各個(gè)分量.,例3 斜冰面上冰刀簡(jiǎn)化模型的運(yùn)動(dòng).,解: 設(shè)冰刀可抽象為以剛性輕桿相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn), 并且m1=m2=m.桿的長(zhǎng)為l. 當(dāng)冰刀在冰面上運(yùn)動(dòng)時(shí), 質(zhì)心(桿的中點(diǎn))的速度只能沿桿長(zhǎng)的方向. 已知冰面的傾角為?.,取固定于斜冰面的坐標(biāo)系oxyz, 其中oz垂直于冰面, oy在冰面上并沿水平方向. 為確定冰刀的位形, 可取質(zhì)心的坐標(biāo)(x,y)及冰刀與x軸的夾角?為廣義坐標(biāo). 質(zhì)心只沿桿長(zhǎng)方向運(yùn)動(dòng), 約束

14、表示為,這是非完整約束.,系統(tǒng)的動(dòng)能為質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和,即,系統(tǒng)的勢(shì)能為,于是可以寫出拉格朗日函數(shù),按照拉格朗日乘子法建立動(dòng)力學(xué)方程,可得,約束方程, 知,對(duì)時(shí)間求導(dǎo),,這樣得,所以,再積分一次,得,利用初始條件,對(duì)于保守系, 廣義力Q?=-?V/ ? q?, 定義拉格朗日函數(shù)L=T-V, 就得到拉格朗日方程,以上引進(jìn)的勢(shì)函數(shù)V與廣義速度無(wú)關(guān), 可稱之為普通勢(shì),但是, 拉格朗日方程并不只適用于普通勢(shì)的系統(tǒng). 我們可以作如

15、下推廣, 假定系統(tǒng)的廣義力Q?滿足,顯然, 定義L＝T-V, 拉格朗日方程依然成立.為保證廣義力表達(dá)式不顯含廣義加速度, V函數(shù)只可能含有廣義速度的線性項(xiàng), 即,四、拉格朗日動(dòng)力學(xué)的推廣,這個(gè)勢(shì)函數(shù)V叫廣義勢(shì), 或速度相關(guān)勢(shì),推廣到廣義勢(shì), 意味著從機(jī)械運(yùn)動(dòng)推廣開(kāi)來(lái). 例如, 在經(jīng)典電磁學(xué)中, 帶電粒子在電磁場(chǎng)中所受的力是,引入矢量勢(shì)A(r,t)和標(biāo)量勢(shì)?(r,t),則可得到,其中,這樣，可定義廣義勢(shì)能,而廣義力為,定義 L=T-V,所

16、以, 仍有,這樣, 拉格朗日力學(xué)也可以用來(lái)研究電磁運(yùn)動(dòng)等, 而不像牛頓力學(xué)那樣只能研究機(jī)械運(yùn)動(dòng).,這時(shí),如果x是循環(huán)坐標(biāo), 就是說(shuō)L不包含x, 即?和A與x無(wú)關(guān),則相應(yīng)的動(dòng)量px守恒, 即,注意: 這動(dòng)量并不就是運(yùn)動(dòng)動(dòng)量, 而多出一項(xiàng)qAx, 多出的這項(xiàng)其實(shí)是電磁場(chǎng)的動(dòng)量.,注意: 動(dòng)量守恒的根據(jù)只在于x是循環(huán)坐標(biāo), 跟牛頓定律無(wú)關(guān). 可見(jiàn)電磁場(chǎng)很難采用“牛頓方式”, 電磁場(chǎng)的作用也談不上牛頓定律.,對(duì)應(yīng)哈密頓函數(shù),具有普通勢(shì)或廣義勢(shì)的

17、系統(tǒng), 拉格朗日函數(shù)可表示為動(dòng)能減勢(shì)能, 而且一定可寫為,L2是廣義速度二次式, L1是廣義速定一次式, L0與廣義速度無(wú)關(guān). 這種構(gòu)造的系統(tǒng)稱為自然拉格朗日系統(tǒng). 不能寫為這種形式的系統(tǒng)叫非自然拉格朗日系統(tǒng).,例: 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度接近光速時(shí), 牛頓定律已不再適用,但拉格朗日方程仍然可以適用. 在保守場(chǎng)V中的質(zhì)點(diǎn),定義,這正是狹義相對(duì)論中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程,但要注意拉格朗日函數(shù)已不再是T-V, 因?yàn)楠M義相對(duì)論中的動(dòng)能,至于哈密頓函數(shù),仍是質(zhì)點(diǎn)