2.7 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、2.7 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn),2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性,2.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn),2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性,引進(jìn)記號(hào),,,,,又可寫(xiě)為,,,觀察下列圖形，能發(fā)現(xiàn)什么？,在點(diǎn),,,處連續(xù),在點(diǎn),,,處不連續(xù),定義2.14,設(shè)函數(shù),,,在點(diǎn),,,的某鄰域,,,內(nèi)有定義.若極限,,,則稱函數(shù),,,在點(diǎn),,,處連續(xù).,定義2.14刻畫(huà)了函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征：自變量的細(xì)微變化僅引起函數(shù)值的細(xì)微變化．顯然它還有如下等價(jià)定義：,定義2.14’,設(shè)

2、函數(shù),,,在點(diǎn),,,的某鄰域,,,內(nèi)有定義.若極限,,,則稱函數(shù),,,在點(diǎn),,,處連續(xù).,定義2.15,當(dāng),,,在點(diǎn),,,處右連續(xù)．,,,時(shí)，稱函數(shù),,,,,在點(diǎn),,,處左連續(xù).,時(shí)，稱函數(shù),當(dāng),,,,左連續(xù)與右連續(xù)統(tǒng)稱為單側(cè)連續(xù).由上述定義可得如下結(jié)論：,,,,,,,,若函數(shù),,,在開(kāi)區(qū)間,,,內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱,函數(shù),,,在開(kāi)區(qū)間,,,內(nèi)連續(xù)；,若函數(shù),,,在開(kāi)區(qū)間,內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn),,,,,處右連續(xù)，,在右端點(diǎn),,,處左連續(xù)

3、，則稱函數(shù),,,在閉區(qū)間,,,上連續(xù).,類似地可定義函數(shù),,,在半開(kāi)半閉區(qū)間上的連續(xù)性.,它們的幾何意義是一筆畫(huà)出的圖形．,例2.25,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,證,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,證明正弦函數(shù),,,在,,,內(nèi)連續(xù).,對(duì)于任意,,,有,,,又,,,,,故由無(wú)窮小量的性質(zhì)得,,,所以由定義2.14知函數(shù),,,在點(diǎn),,,處連續(xù).,又由點(diǎn),,,的任意性知正弦

4、函數(shù),,,在,,,內(nèi)連續(xù).,例2.26,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,討論函數(shù),,,在,,,處的連續(xù)性.,因,,,故由定義2.14’知函數(shù),,在,,,處連續(xù).,例2.27,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,設(shè)函數(shù),,,在,,,處連續(xù)，,求常

5、數(shù),,,的值.,由于函數(shù),,在,,,處連續(xù)，,故有,,,又,,,故有,,,即當(dāng),,,時(shí)，函數(shù),,在,,,處連續(xù).,2.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn),事物的發(fā)展除有漸變（即連續(xù)變化）外,還有突變(即不連續(xù)變化)，如斷裂，惡性通貨膨脹等.,定義2.16,若,,,在點(diǎn),,,處不連續(xù)，則稱點(diǎn),,,是,函數(shù),,,的間斷點(diǎn).,由定義2.14’知函數(shù),,,在點(diǎn),,,處間斷分為三種情形：,,,在,,,處無(wú)定義，但在其鄰近有定義；,,,在,,,處有定義，但極限,

6、,,不存在；,,,在,,,處有定義且極限,,,存在，但,,,定義2.17,,,,,,,設(shè)函數(shù),,,,,在點(diǎn),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在點(diǎn),處間斷.,若函數(shù),處的左極限,,,與右極限,,,均存在，則稱點(diǎn),是函數(shù),的第一類間斷點(diǎn)；,若,,,與,,,中至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn),是,函數(shù),的第二類間斷點(diǎn).,例2.28,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

7、,,,,,,,,對(duì)于函數(shù),,,有,,,即函數(shù),,在點(diǎn),,,處的左、右極限均存在，但不相等，,出現(xiàn)跳躍度為2的“缺口”，,故,,,是函數(shù),,的第一類,（跳躍）間斷點(diǎn).,其實(shí)它就是符號(hào)函數(shù).,例2.29,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)于函數(shù),,,有,,,即函數(shù),,在點(diǎn),,,處的左、右極限存在且相等，,不等于該點(diǎn)的函數(shù)值，,故,,,是函數(shù),,的

8、第一類,間斷點(diǎn).,但,此時(shí)，若更改定義,,,則函數(shù),,在,,,處,連續(xù)，,故又稱,,,是函數(shù),,的可去間斷點(diǎn).,例2.30,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)于函數(shù),,,有,,,但,,在點(diǎn),,,處無(wú)定義，,左、右極限存在且相等，但函數(shù)在該點(diǎn)處無(wú)定義，,故,,,是函數(shù),,的第一類間斷點(diǎn).,即函數(shù),此時(shí)，若補(bǔ)充定義,,,則函數(shù),,在,,,處,連續(xù)

9、，,故又稱,,,是函數(shù),,的可去間斷點(diǎn).,在點(diǎn),處的,例2.31,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,函數(shù),,,在,,,處無(wú)定義，,且,,,與,,,均不存在，,故,,,是函數(shù),,的第二類間斷點(diǎn).,當(dāng),,,時(shí)，,函數(shù)值始終在-1與1之間振蕩.,在計(jì)算機(jī)上,可以體驗(yàn),,,越接近0，,曲線振蕩得越厲害，,故又稱,,,是,振蕩間斷點(diǎn)．,,,,,,,,,,