簡單數(shù)學(xué)建模應(yīng)用例子課件

1、1,數(shù) 學(xué) 建 模,簡單建模實例,2024/4/3,2,建 模 實 例,實例一：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需挪動幾次，就可以使四腳同時著地，放穩(wěn)了。這看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能夠用數(shù)學(xué)語言以表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實嗎？,2024/4/3,3,建 模 實 例,模型假設(shè)：對椅子和地面應(yīng)該作一些必要的假設(shè)。1．椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形。

2、2．地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。3. 對椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少三只腳著地。,2024/4/3,4,建 模 實 例,這里假設(shè)1顯然是合理的，假設(shè)2相應(yīng)于給出了椅子能放穩(wěn)的條件，因為如果地面高度不連續(xù)，譬如在有臺階的地方是無法使椅子四腳同時著地的，至于假設(shè)3是要排除這樣的情況：地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相應(yīng)的范圍內(nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰，致

3、使三只腳無法同時著地。,2024/4/3,5,建 模 實 例,模型構(gòu)成：這里首先要解決的中心問題是用數(shù)學(xué)語言把椅子四腳同時著地的條件和結(jié)論表示出來。首先要用變量表示椅子的位置，注意到椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。,2024/4/3,6,建 模 實 例,圖中椅腳連線為正方形ABCD，對角線AC與x軸重合 椅子繞中心點旋轉(zhuǎn)角度后，正方形

4、ABCD轉(zhuǎn)至A`B`C`D`的位置，所以對角線AC與x,,2024/4/3,7,建 模 實 例,軸的夾角 表示了椅子的位置。其次要把椅子腳著地，用數(shù)學(xué)符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么當(dāng)這個距離為零時就是椅腳著地了，椅子在不同的位置椅腳與地面的距離不同，所以這個距離就是位置變量 的 函數(shù)。,2024/4/3,8,建 模 實 例,雖然椅子只有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)

5、就行了，記A，C兩腳與地面的距離之和為f( )，B，D兩腳與地面的距離之和為g( )，f( ),g( )≥0，由假設(shè)2，f與g均是連續(xù)函數(shù)。由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的 ，f( ), g( )中至少有一個為零，當(dāng) =0時不妨設(shè)g( )=0, f( )>0。,,,,,,,,,2024/4/3,9,建 模 實 例,這樣，改變椅子的位置，使四腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題： 已知f( )與

6、g( )是 的連續(xù)函數(shù)，對任意的 ，f( )g( )=0且g(0)=0，f(0)>0 .則存在 0使f( 0)=g( 0)=0.,,,,,,,,,,2024/4/3,10,建 模 實 例,可以看到，引入了變量 和函數(shù) 就把模型的假設(shè)條件和椅腳同時著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學(xué)語言表述出來，從而構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學(xué)模型。模型求解上述命題有多種證明方法，這里介紹其中的一種，將椅子旋轉(zhuǎn)900

7、 ，對角線AC與BD互換，由于 g(0)=0, f(0)>0，可知g(90)>0, f(90)=0.,,2024/4/3,11,建 模 實 例,令h( )=f( )-g( ), 則h(0)>0, h(90)<0, 由于f和g的連續(xù)性可知， h也是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)可知，必存在 0（0< 0<90）使h( 0)=0, 即f( 0)=g( 0).最后由于g( 0)f(

8、0)=0 ，即g( 0)= f( 0)=0.,,,,,,,,,,,,2024/4/3,12,建 模 實 例,評注：這個模型的巧妙之處在于用一元變量 表示椅子的位置，用 的兩個函數(shù)表示椅子的四腳與地面的距離，利用正方形的中心對稱及旋轉(zhuǎn)900并不是本質(zhì)的，大家可以考慮四腳呈長方形的情形（作業(yè)）,,2024/4/3,13,建 模 實 例,例2 商人怎樣安全過河？三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小 船只能容納二人，由他們自已劃行，隨

9、從們密約，在河的一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河大權(quán)掌握在商人手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？,2024/4/3,14,建 模 實 例,這里是要用數(shù)學(xué)方法求解，一是為了給出建模的示例，二是因為這類模型可以解決相當(dāng)廣泛的一類問題，比邏輯思索的結(jié)果容易推廣。 由于問題已經(jīng)理想化了，所以不必再作假設(shè)。安全渡河問題可以視為一個多步?jīng)Q策過程。每一步即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對船上的人員作出決策，在保證

10、安全的前題下，在有限步內(nèi)使人員全部過河，,2024/4/3,15,建 模 實 例,用狀態(tài)變量表示某一岸的人員狀況，決策變量表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)的充許變化范圍內(nèi)，確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目標(biāo)模型的過成：記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為xk隨從數(shù)為yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，將二維向量sk=(xk,yk)定義為狀態(tài)，,2024/4/3,16,建 模 實 例,安

11、全渡河條件下的狀態(tài)集稱為允許狀態(tài)集合，記作S，不難寫出S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2}- (1)記第k次渡船上的商人數(shù)為uk ,隨從數(shù)為vk ,將二維向量dk = (uk,vk)定義為決策，允許決集合記作D，由小船的容量可知 D={（u,v）| u + v = 1 , 2 }- (2),2024/4/3,17,建 模 實 例,因為k為奇數(shù)時船由此岸駛向彼岸，

12、k為奇數(shù)時船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)sk 隨決策dk變化的規(guī)律是： sk+1 = sk + (-1) k d k - (3)(3)式稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，這樣，制定安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策問題：,2024/4/3,18,建 模 實 例,求決策dk∈D (k=1,2,……n)， 使?fàn)顟B(tài)sk∈S按照轉(zhuǎn)移規(guī)律（3），由初始狀態(tài)s1=(3,3)經(jīng)有限n步后到達(dá)狀態(tài)sn+1=(0,0)

13、.模型求解 根據(jù)（1）~（3）式通過計算機(jī)編寫一段程序來求解多步?jīng)Q策問題是可行的，不過當(dāng)商人和隨從數(shù)都不多的情況下還可以用圖解法解此模型更為方便。,2024/4/3,19,建 模 實 例,在xoy坐標(biāo)系上畫出如圖所示的方格，方格點上的坐標(biāo)同時也表示狀態(tài)s = ( x , y ). 允許狀態(tài)集是沿方格 線移動1或2格，k為奇數(shù)時向左、下方移動，k為偶數(shù) 時向右、上方移動。要確定一系列的dk使由s1=(3,3)經(jīng)過那些點最

14、終移至原點（0，0），左圖中給出了一種決策方案，最終有s12=(0,0).,,,,,,,,,,,,,2024/4/3,20,建 模 實 例,評注 這里介紹的模型是一種規(guī)格化的方法，使我們可以用計算機(jī)求解，從而具有推廣意義，譬如當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大時，靠邏輯思考就困難了，而這種模型則仍可方便地求解，如商人及隨從數(shù)各增加1名，小船不變?nèi)绾吻蠼猓?2024/4/3,21,建 模 實 例,例3 如何預(yù)報人口的增長人口增長

15、是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題，我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于人口增長的預(yù)報，說到本世紀(jì)末，全世界人口將達(dá)到多少多少億，你可以注意到不同報刊對同一時期人口的預(yù)報在數(shù)字上常有較大差別，這顯然是由于用了不同的人口模型計算的結(jié)果。,2024/4/3,22,建 模 實 例,若今年人口數(shù)為x0, k年后人口為xk, 年增長率為r， 則預(yù)報公式為 （

16、1）顯然，這個公式成立的基本前題是年增長率r保持不變，這個條件在什么情況下才成立，如果不成立又該怎么辦。歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答了這個問題。,,2024/4/3,23,建 模 實 例,早在18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報工作了，一二百年來發(fā)展了許多模型，下面將介紹最簡單的兩種。 指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型） 英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766-1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名的人

17、口指數(shù)增長模型。這個模型的基本假設(shè)是：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口成正比。,2024/4/3,24,建 模 實 例,記t時刻的人口數(shù)為x(t), 考查一個國家或一個很大地區(qū)的人口時， x(t)是很大的整數(shù)。為了利用微分這一工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻的人口為x0，人口增長率為r，r是單位時間內(nèi)x(t)的增量與x(t)的比例系數(shù)，根據(jù)r是常數(shù)的基本假設(shè)，t到t+Δt時間內(nèi)人口的增長為,,

18、2024/4/3,25,建 模 實 例,于是x(t)滿足如下方程： （2） 易知其解為 （3）,,2024/4/3,26,建 模 實 例,上式表明了人口增長的指數(shù)規(guī)律，此時將t離散化，并認(rèn)為r較小，則可得（1）式，即（1）為指數(shù)增長模型的一種離散形式的近似表示。

19、 人們發(fā)現(xiàn)，在地廣人稀的加拿大領(lǐng)土上，法國移民后代的人口比較符合指數(shù)增長模型，而同一血統(tǒng)的法國本土居民人口的增長卻遠(yuǎn)低于這個模型。,2024/4/3,27,建 模 實 例,產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著，人口增長率會逐漸減少。許多國家人口增長的實際情況完全證實了這一點。為了使人口增長的預(yù)期與實際更好地相符，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)的基本假設(shè)。

20、,2024/4/3,28,建 模 實 例,阻滯增長模型（Logistic模型） 將增長率r表示為人口x(t)的函數(shù)r(x),按照前面的分析，r(x)應(yīng)是x的減函數(shù)。一個最簡單的假設(shè)是設(shè) r(x)為x的線性函數(shù)， r(x)=r-sx, s>0,這里r相當(dāng)于x=0時的增長率，稱為固有增長率，它與指數(shù)模型中的增長率r不同，顯然，對于任意的x>0，增長率r(x)<r。為確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的

21、最大人口數(shù)量xm, 稱為最大人口容量。,2024/4/3,29,建 模 實 例,當(dāng)x=xm時增長率為零，即r(xm)=0,由此確定出s，此時人口增長率函數(shù)可以表示為 （4） 其中r ,xm是根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗確定的常數(shù)，因子 體現(xiàn)了阻滯增長作用，,2024/4