2020版高考幫數(shù)學(xué)（文科）大一輪復(fù)習(xí)課件：第9章第1講 直線方程與兩直線的位置關(guān)系（2020高考幫·數(shù)文）

1、第一講　直線方程與兩直線的位置關(guān)系,【高考幫·文科數(shù)學(xué)】第九章　直線和圓的方程,考情精解讀,A考點(diǎn)幫?知識(shí)全通關(guān),目錄CONTENTS,命題規(guī)律,聚焦核心素養(yǎng),考點(diǎn)1　直線方程考點(diǎn)2　兩直線的位置關(guān)系考點(diǎn)3 距離公式,,考法1 求直線方程考法2 兩直線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用考法3 兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題考法4 對(duì)稱問(wèn)題,B考法幫?題型全突破,C方法幫?素養(yǎng)大提升,易錯(cuò)　忽略斜率不存在致誤方法

2、 妙用直線系求直線方程,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,考情精解讀,命題規(guī)律聚焦核心素養(yǎng),文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,命題規(guī)律,1.命題分析預(yù)測(cè) 該講在高考中很少單獨(dú)考查,通常與其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查,一是與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,求切線的斜率、傾斜角和切線方程,二是與圓、圓錐曲線結(jié)合,考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系,有時(shí)需要運(yùn)用到兩條直線的位置關(guān)系和距離公式.2.學(xué)科核心素養(yǎng) 本講主要考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng).,,

3、聚焦核心素養(yǎng),A考點(diǎn)幫?知識(shí)全通關(guān),考點(diǎn)1　直線方程考點(diǎn)2　兩直線的位置關(guān)系考點(diǎn)3 距離公式,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考點(diǎn)1　直線方程（重點(diǎn)）,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,2.直線方程的幾種形式,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,注意 當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線的方程為y=kx+b;當(dāng)不確定直線的斜率是否存在時(shí),可設(shè)直線的方程為ky+x+b=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,1.兩條直線的位

4、置關(guān)系,,,考點(diǎn)2　兩直線的位置關(guān)系(重點(diǎn)),注意 兩條直線平行時(shí),不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況;兩條直線垂直時(shí),不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.,2.兩條直線的交點(diǎn)對(duì)于直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它們的交點(diǎn)通過(guò)方程組 𝐴 1 𝑥+ 𝐵 1 𝑦+ 𝐶 1 =0, &#

5、119860; 2 𝑥+ 𝐵 2 𝑦+ 𝐶 2 =0 求解.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考點(diǎn)3　距離公式（重點(diǎn)）,注意 點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件:(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),應(yīng)先化直線方程為一般式;(2)求兩平行線之間的距離時(shí),應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,B考法幫?題型全突破,考法1

6、求直線方程考法2 兩直線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用考法3 兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題考法4 對(duì)稱問(wèn)題,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考法1 求直線方程,示例1 (1)已知點(diǎn)A(3,4),則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為 .(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),如圖所示,當(dāng)△ABO的面積取最小值時(shí)直線l的方程為 .,,

7、,解析 (1)(截距式)設(shè)直線在x軸,y軸上的截距均為a.①若a=0,即直線過(guò)點(diǎn)(0,0)及(3,4).∴直線的方程為y= 4 3 x,即4x-3y=0.②若a≠0,設(shè)所求直線的方程為 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑎 =1,又點(diǎn)(3,4)在直線上,∴ 3 𝑎 + 4 𝑎 =1,∴a=7.∴直線的方程為x+y-7=0.綜合①②可

8、知所求直線的方程為4x-3y=0或x+y-7=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,(2)解法一　設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 =1. (截距式)因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)P(3,2),所以 3 𝑎 + 2 𝑏 =1.因?yàn)?= 3 𝑎 + 2 𝑏

9、; ≥2 6 𝑎𝑏 ,整理得ab≥24,所以S△ABO= 1 2 ab≥12.當(dāng)且僅當(dāng) 3 𝑎 = 2 𝑏 ,即a=6,b=4時(shí)取等號(hào).此時(shí)直線l的方程是 𝑥 6 + 𝑦 4 =1,即2x+3y-12=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解法二　依題意知,直線l的斜率k存在且k<0,可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3

10、)(k<0), (點(diǎn)斜式)則A(3- 2 𝑘 ,0),B(0,2-3k),S△ABO= 1 2 (2-3k)(3- 2 𝑘 )= 1 2 [12+(-9k)+ 4 ?𝑘 ]≥ 1 2 [12+2 (?9𝑘)· 4 ?𝑘 ]= 1 2 ×(12+12)=12,當(dāng)且僅當(dāng)-9k= 4 ?𝑘 ,即k=

11、- 2 3 時(shí),等號(hào)成立.所以所求直線l的方程為2x+3y-12=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,感悟升華,,1.求解直線方程的兩種方法,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,2.謹(jǐn)防三種失誤(1)選用點(diǎn)斜式和斜截式時(shí),要注意討論斜率是否存在.(2)選用截距式時(shí),要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn),截距是否為0.(如本示例(1))(3)選用一般式Ax+By+C=0確定直線的斜率時(shí),要注意討論B是否為0.,拓展變式1 已知△AB

12、C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC邊所在直線的方程;(2)BC邊上中線AD所在直線的方程;(3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,1.(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(-2,3)兩點(diǎn),由兩點(diǎn)式得BC的方程為 𝑦?1 3?1 = 𝑥?2 ?2?2 ,即x+2y-4=0.(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為

13、(x,y),則x= 2?2 2 =0,y= 1+3 2 =2.BC邊的中線AD經(jīng)過(guò)A(-3,0),D(0,2)兩點(diǎn),由截距式得AD所在直線的方程為 𝑥 ?3 + 𝑦 2 =1,即2x-3y+6=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,(3)由(1)知,直線BC的斜率k1=- 1 2 ,則BC的垂直平分線DE的斜率k2=2.由(2)知,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2).由點(diǎn)斜式得直線D

14、E的方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考法2 兩直線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用,示例2 (1)如果直線l:y=kx-1(k>0)與雙曲線 𝑥 2 16 - 𝑦 2 9 =1的一條漸近線平行,那么k=　　　　. (2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-1)和點(diǎn)Q(a,-2a)的直線l2互

15、相垂直,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.,思維導(dǎo)引 (1)先由雙曲線的方程求出其漸近線方程,再由兩直線平行的條件:斜率相等,即可求得參數(shù)k的值.(2)根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率之間的關(guān)系列關(guān)于a的方程,解之即得,注意討論a與0的關(guān)系.,,,解析 (1)因?yàn)殡p曲線方程為 𝑥 2 16 - 𝑦 2 9 =1,所以其漸近線方程為y=± 3 4 x.又直線l:y=kx-1(k>0)與雙曲線

16、 𝑥 2 16 - 𝑦 2 9 =1的一條漸近線平行,所以k= 3 4 .(2)l1的斜率k1= 3𝑎?0 1?(?2) =a.當(dāng)a≠0時(shí),l2的斜率k2= ?2𝑎?(?1) 𝑎?0 = 1?2𝑎 𝑎 .因?yàn)閘1⊥l2,所以k1k2=-1,即a· 1?2𝑎 𝑎 =-1,

17、,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,解得a=1.當(dāng)a=0時(shí),P(0,-1),Q(0,0),這時(shí)直線l2為y軸,A(-2,0),B(1,0),直線l1為x軸,顯然l1⊥l2.綜上可知,實(shí)數(shù)a的值為1或0.點(diǎn)評(píng) 根據(jù)兩直線平行或垂直滿足的關(guān)系即可求解,注意討論斜率是否為零.,,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,感悟升華1.兩直線位置關(guān)系的判斷方法(1)已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等

18、;②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在,當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí),兩直線平行;否則兩直線重合.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.該方法可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.2.由兩條直線

19、平行與垂直求參數(shù)的值的解題策略 在解這類問(wèn)題時(shí),一定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性,是否需要分情況討論;“后想”就是在解題后,檢驗(yàn)答案的正確性,看是否出現(xiàn)增解或漏解.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,拓展變式2 已知直線:l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)l1⊥l2時(shí),求a的值.,2.(1)解法一 當(dāng)a=1時(shí),

20、l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),兩直線可化為l1:y=- 𝑎 2 x-3,l2:y= 1 1?𝑎 x-(a+1),l1∥l2? ? 𝑎 2 = 1 1?𝑎 , ?3≠?𝑎+1 解得a=-1.綜上可知,a=-1時(shí),l1∥l2,否則

21、l1與l2不平行.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0.∴l(xiāng)1∥l2? 𝑎 𝑎?1 ?1×2=0, 𝑎 𝑎 2 ?1 ?1×6≠0 ? 𝑎 2 ?𝑎?2=0,

22、19886; 𝑎 2 ?1 ≠6 ?a=-1.故當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2,否則l1與l2不平行.(2)解法一 當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),l1:y=- 𝑎 2 x-3,l2:y= 1 1?𝑎 x-(a+1),,文科數(shù)學(xué) 第

23、九章：直線和圓的方程,,由(- 𝑎 2 )· 1 1?𝑎 =-1?a= 2 3 .故l1∥l2時(shí),a= 2 3 .解法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0?a= 2 3 .故l1⊥l2時(shí),a= 2 3 .,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考法3 兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題,示例3 已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a&

24、gt;0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是A.(0,1) B.(1- 2 2 , 1 2 )C.(1- 2 2 , 1 3 ] D.[ 1 3 , 1 2 ),,解析 解法一　由已知得lBC:x+y=1,由 𝑥+𝑦=1, 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 消去x,得y= 𝑎+𝑏 &

25、#119886;+1 ,當(dāng)a>0時(shí),直線y=ax+b與x軸交于點(diǎn)(- 𝑏 𝑎 ,0),結(jié)合圖形知 1 2 × 𝑎+𝑏 𝑎+1 ×(1+ 𝑏 𝑎 )= 1 2 ,化簡(jiǎn)得(a+b)2=a(a+1),則a= 𝑏 2 1?2𝑏 .∵a>0,∴ 𝑏 2

26、 1?2𝑏 >0,解得b< 1 2 .考慮極限位置,即a=0,此時(shí)易得b=1- 2 2 ,故b∈(1- 2 2 , 1 2 ).,,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解法二　易得△ABC的面積為1,利用極限位置和特殊值法求解.當(dāng)a=0時(shí),易得b=1- 2 2 ,排除A,D;當(dāng)a= 1 3 時(shí),易得b= 1 3 ;當(dāng)a=1時(shí),易得b= 2 -1> 1 3 ,排除C.答案　B,

27、文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,方法總結(jié)1.過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)借助直線系方程,利用待定系數(shù)法求出直線方程,這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程.2.距離的求法利用距離公式求解,詳見(jiàn)原書P179考點(diǎn)3.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,拓展結(jié)論點(diǎn)到幾種特殊直線的距離,可直接求出:①點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;②點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離

28、d=|x0|;③點(diǎn)P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y0-a|;④點(diǎn)P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x0-b|.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,拓展變式3 若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　)A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2,,3.A　∵l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=

29、0是平行直線,∴可判斷AB所在直線過(guò)原點(diǎn)且與直線l1,l2垂直時(shí),中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最小.∵直線l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0,∴兩直線的距離為 |7?5| 1 2 + 1 2 = 2 ,又原點(diǎn)到直線l2的距離為 5 2 2 ,∴AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為 5 2 2 + 2 2 =3 2 .故選A.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,考法4 對(duì)稱問(wèn)題,示例4 已知直線l:2

30、x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo);(2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線l'的方程.,思維導(dǎo)引 本題考查點(diǎn)關(guān)于直線、直線關(guān)于直線和直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題.,,解析　(1)設(shè)A'(x,y),則 𝑦+2 𝑥+1 

31、3; 2 3 =?1, 2× 𝑥?1 2 ?3× 𝑦?2 2 +1=0, 解得 𝑥=? 33 13 , 𝑦= 4 13 , 即A'(- 33 13 , 4 13 ).(2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m'上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M'(a,b),則 2× 𝑎+2

32、2 ?3× 𝑏+0 2 +1=0, 𝑏?0 𝑎?2 × 2 3 =?1,,,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解得 𝑎= 6 13 , 𝑏= 30 13 , 即M'( 6 13 , 30 13 ).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N,則由 2𝑥?3𝑦+1=0, 3𝑥?2𝑦

33、?6=0, 得N(4,3).又m'經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3),所以由兩點(diǎn)式得直線m'的方程為9x-46y+102=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,(3)解法一　在l:2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn),如P(1,1),N(4,3),則P,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P',N'均在直線l'上.易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l'的方程為2x-3y-9=0.

34、解法二　設(shè)Q(x,y)為l'上任意一點(diǎn),則Q(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為Q'(-2-x,-4-y),∵Q'在直線l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,方法總結(jié)1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱若點(diǎn)M(x1,y1)和點(diǎn)N(x,y)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 𝑥=2𝑎? 𝑥 1

35、, 𝑦=2𝑏? 𝑦 1 , 進(jìn)而求解.2.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1)在已知直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程;(2)求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),再利用兩對(duì)稱直線平行,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,3.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對(duì)稱,則由方程組 

36、9860;( 𝑥 1 + 𝑥 2 2 )+𝐵( 𝑦 1 + 𝑦 2 2 )+𝐶=0, 𝑦 2 ? 𝑦 1 𝑥 2 ? 𝑥 1 ·(? 𝐴 𝐵 )=?1 可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中B≠0

37、,x1≠x2).4.直線關(guān)于直線對(duì)稱設(shè)直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,(1)當(dāng)l1與l相交時(shí),則交點(diǎn)必在l2上,再求出l1上某個(gè)點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2,那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)P2即可求出直線l2的方程.(2)當(dāng)l1∥l時(shí),借助兩直線平行所滿足的條件設(shè)出對(duì)稱直線l2的方程,再利用兩平行直線間的距離公式列出方程,解得直線l2方程中的常數(shù)項(xiàng),從而得l2的方程.5.解決對(duì)稱問(wèn)題要抓住以下兩點(diǎn):

38、一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直,二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上.,,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解析 (1)解法一　圓C的圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑為1.顯然,入射光線所在直線的斜率k不存在時(shí)不符合題意,故可設(shè)入射光線所在直線的方程為y-3=k(x+3),則反射光線所在直線的斜率k'=-k,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'(-3,-3)在反射光線所在的直線上,故反射光線所在直線的方程為y

39、+3=,拓展變式4 (1)若自點(diǎn)P(-3,3)發(fā)出的光線l經(jīng)x軸反射,其反射光線所在的直線與圓C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求直線l的方程.(2)已知在△ABC中,頂點(diǎn)A(4,5),點(diǎn)B在直線l:2x-y+2=0上,點(diǎn)C在x軸上,求△ABC周長(zhǎng)的最小值.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,-k(x+3),該直線應(yīng)與圓相切,故得 |2𝑘+2+3+3𝑘| 1+ 𝑘

40、 2 =1,所以12k2+25k+12=0,解得k=- 3 4 或k=- 4 3 .所以所求直線l的方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.解法二　如圖所示,設(shè)圓C關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為圓C',則圓C'的圓心坐標(biāo)為(2,-2),半徑為1.設(shè)入射光線所在直線的方程為y-3=k(x+3),則該直線與圓C'相切,類似解法一可得直線l的方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的

41、方程,,(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A2(x2,y2),點(diǎn)A關(guān)于直線l:2x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1,y1).連接A1A2交直線l于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)C,則此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)取最小值,且最小值為|A1A2|.∵A1與A關(guān)于直線l:2x-y+2=0對(duì)稱,∴ 𝑦 1 ?5 𝑥 1 ?4 ?2=?1, 2? 𝑥 1 +4 2 ? 𝑦 1 +5 2 +2

42、=0, 解得 𝑥 1 =0, 𝑦 1 =7. ∴A1(0,7).易求得A2(4,-5).∴△ABC的最小周長(zhǎng)為|A1A2|= 4 2 + 12 2 =4 10 .,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,C方法幫?素養(yǎng)大提升,易錯(cuò)　忽略斜率不存在致誤方法 妙用直線系求直線方程,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,易錯(cuò)　忽略斜率不存在致誤,示例5 [2019惠州市高三

43、調(diào)研(一)]過(guò)點(diǎn)A(3,5)作圓O:x2+y2-2x-4y+1=0的切線,則切線的方程為 .,易錯(cuò)分析 解本題容易出現(xiàn)的問(wèn)題是忽略斜率不存在,即直線與圓相切的情況,而導(dǎo)致錯(cuò)誤.,,解析 圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=4,其圓心為(1,2).∵|OA|= (3?1 ) 2 +(5?2 ) 2 = 13 >2,∴點(diǎn)A(3,5)在圓外.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),直線x=3與圓

44、相切,即切線方程為x-3=0;當(dāng)切線的斜率存在時(shí),可設(shè)所求切線方程為y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.又圓心為(1,2),半徑r=2,而圓心到切線的距離d= 3?2𝑘 𝑘 2 +1 =2,即|3-2k|=2 𝑘 2 +1 ,∴k= 5 12 ,即切線方程為5x-12y+45=0.綜上可知,所求切線的方程為5x-12y+45=0或x-3=0

45、.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,,方法　妙用直線系求直線方程,示例6 求與直線3x+4y+1=0平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線l的方程.,思維導(dǎo)引 因?yàn)樗笾本€與3x+4y+1=0平行,因此,可設(shè)所求直線方程為3x+4y+c=0(c≠1).,解析 依題意,設(shè)所求直線方程為3x+4y+c=0(c≠1),因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.因此,所求直線方程為3

46、x+4y-11=0.,2.垂直直線系,示例7 求經(jīng)過(guò)A(2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程.,思維導(dǎo)引 依據(jù)兩直線垂直的條件設(shè)出方程,再由待定系數(shù)法求解.,解析 因?yàn)樗笾本€與直線2x+y-10=0垂直,所以設(shè)該直線方程為x-2y+C1=0,又直線過(guò)點(diǎn)(2,1),所以有2-2×1+C1=0,解得C1=0,所以所求直線方程為x-2y=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,3.過(guò)直線交點(diǎn)

47、的直線系,示例8 求經(jīng)過(guò)直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.,思維導(dǎo)引 可先求出l1與l2的交點(diǎn),再用點(diǎn)斜式求解,也可利用直線系方程求解.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解析 解法一　將直線l1,l2的方程聯(lián)立,得 3𝑥+2𝑦?1=0, 5𝑥+2𝑦+1=0, 解

48、得 𝑥=?1, 𝑦=2, 即直線l1,l2的交點(diǎn)為(-1,2).由題意得直線l3的斜率為 3 5 ,又直線l⊥l3,所以直線l的斜率為- 5 3 ,則直線l的方程是y-2=- 5 3 (x+1),即5x+3y-1=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解法二　由于l⊥ l3,所以可設(shè)直線l的方程是5x+3y+C=0,將直線l1,l2的方程聯(lián)立,得 3𝑥+2𝑦

49、?1=0, 5𝑥+2𝑦+1=0, 解得 𝑥=?1, 𝑦=2, 即直線l1,l2的交點(diǎn)為(-1,2),則點(diǎn)(-1,2)在直線l上,所以5×(-1)+3×2+C=0,解得C=-1,所以直線l的方程為5x+3y-1=0.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,,解法三　設(shè)直線l的方程為3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0,整理得(3+5λ)x+(

50、2+2λ)y+(-1+λ)=0.由于l⊥ l3,所以3(3+5λ)-5(2+2λ)=0,解得λ= 1 5 ,所以直線l的方程為5x+3y-1=0.,點(diǎn)評(píng) 本題中的解法二、解法三均是利用直線系設(shè)出直線l的方程,而解法三是利用相交直線系設(shè)出方程,避免了求直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo),方便簡(jiǎn)捷,是最優(yōu)解法.,文科數(shù)學(xué) 第九章：直線和圓的方程,歸納總結(jié) 常見(jiàn)的直線系方程1

51、.過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),還可以表示為y-y0=k(x-x0)和x=x0.2.平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).3.垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Bx-Ay+λ=0.4.過(guò)兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線