講多元函數(shù)極限(續(xù))與連續(xù)

1、《數(shù)學(xué)分析《數(shù)學(xué)分析II》第》第5講教案講教案1第5講二元函數(shù)的極限（續(xù)）與連續(xù)性二元函數(shù)的極限（續(xù)）與連續(xù)性授課題目授課題目二元函數(shù)的極限（續(xù)）與連續(xù)性教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容1.二元函數(shù)極限的性質(zhì)定理；2.累次極限及其性質(zhì)；3.二元函數(shù)的連續(xù)性的定義；4.二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)目的教學(xué)目的和要求和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能夠較好地掌握二元函數(shù)的累次極限，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法；掌握二元函數(shù)的連續(xù)

2、性的定義，理解二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，二元函數(shù)的連續(xù)性；教學(xué)難點(diǎn)：二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)方法教學(xué)方法及教材處及教材處理提示理提示(1)通過介紹二元函數(shù)的極限的性質(zhì)定理，使學(xué)生進(jìn)一步弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極限的方法(2)重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系是教學(xué)重點(diǎn)，通過多舉些例題介紹判別極限存在性的較完整的方法(3)二元函數(shù)的連續(xù)性基本上與

3、一元函數(shù)的情況類似，教學(xué)中可通過復(fù)習(xí)一元函數(shù)的連續(xù)性引出二元函數(shù)的連續(xù)性有關(guān)二元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與一元函數(shù)的情況基本上類同，只介紹相關(guān)結(jié)論其證明過程從略.(4)關(guān)于二元函數(shù)介值性定理的證明是一道極好的習(xí)題，將其作為重要知識點(diǎn)并安排在習(xí)題課上重點(diǎn)講授.作業(yè)布置作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材:2（1，3，5），4，7（3，4）.:1（3，4）.99P104P講授內(nèi)容講授內(nèi)容一、二元函數(shù)的極限性質(zhì)一、二元函數(shù)的極限性質(zhì)例1二元函數(shù)如圖16－7所示，當(dāng)沿

4、任何直??????????????.001)(2其余部分時，當(dāng)xxyyxf)(yx線趨于原點(diǎn)時，相應(yīng)的都趨于零，但這并不表明此函數(shù)在時極)(yxf)00()(?yx限存在因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)沿拋物線趨于點(diǎn)時，將趨于)(yx)10(2???kkxy)00()(yxf1。所以不存在。).(lim)00()(yxfyx?例2設(shè)證明.321)(22yxyxf??????)(lim)00()(yxfyx證：因?yàn)?，對任給正數(shù)M，取就有)(4322222yxyx

5、???21M??《數(shù)學(xué)分析《數(shù)學(xué)分析II》第》第5講教案講教案3時的第二項(xiàng)不存在極限。同理，對任何，當(dāng)時的第一項(xiàng)也不存在極限。但是由于0?xf0?x0?yfyxxyyx???1sin1sin故的重極限存在，且f??????.0lim00??yxfyx定理定理16.616.6若重極限與累次極限都存在，則它們一定相等。??????yxfoyxyxlim0???yxfyxxylimlim00??證：設(shè)則對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，??

6、????lim0Ayxfoyxyx?????????0PUyxP??有(2)??.???Ayxf另由存在累次極限之假設(shè)，對任一滿足不等式的，存在極限????00xxx????.lim0xyxfyy???回到不等式（2），讓其中，可得故得，即0yy???.????Ax??Axxx???0lim????????.limlimlim000Ayxfyxfoyxyxyyxx?????推論推論1若累次極限和重極限都存在，則三者相????yxfyxf

7、xxyyyyxxlimlimlimlim0000??????????yxfoyxyxlim0?等。推論推論2若累次極限與存在但不相等，則重極限必??limlim00yxfyyxx????yxfxxyylimlim00????????yxfoyxyxlim0?不存在。三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義定義設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，若則稱點(diǎn)連續(xù)。f2RD?DP?0????.lim00PfPfPP??f0P例8設(shè)，函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)

8、。（因?yàn)闃O限不存在）?????????)00()()00()()(22yxmyxyxxyyxf)(yxf例9設(shè)討論函數(shù)的連續(xù)性.?????????)00()()00()()(2222yxmyxyxyxyxf)(yxf解：解：當(dāng)時，由于因此連續(xù).)00()00?yx（??)(lim0020202020)()(00yxfyxyxyxfyxyx????f而故當(dāng)時，在原點(diǎn)連續(xù).)(lim)00()(yxfyx?0lim22)00()(????y