材料力學(xué) 第四章 本構(gòu)關(guān)系

1、第四章 本構(gòu)關(guān)系,靜力學(xué)問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題是通過(guò)物體的材料性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)的。力學(xué)量（應(yīng)力，應(yīng)力速率等）和運(yùn)動(dòng)學(xué)量（應(yīng)變，應(yīng)變速率等）之間的關(guān)系式稱之為本構(gòu)關(guān)系或本構(gòu)方程。,本章僅討論不考慮熱效應(yīng)的線彈性本構(gòu)關(guān)系——廣義胡克定律。,第四章 本構(gòu)關(guān)系,,,第四章 本構(gòu)關(guān)系,§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能§4-2 各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系§4-4

2、 各向同性彈性材料的彈性常數(shù)§4-5 各向同性彈性材料的應(yīng)變能密度,目 錄,,設(shè)在直角坐標(biāo)系中Ox1x2x3中，位移矢量,因而速度和加速度分別為 , 。,，,并設(shè)體積力密度和作用在s上的表面力密度分別為,，,為坐標(biāo)軸Oxi的單位矢量。,考察作用在微元體上的體積力 和表面力 在單位時(shí)間內(nèi)所做的功,,(1),§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,設(shè)物體的密度

3、為,，則微元體的動(dòng)能為,,(2),單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)能的變化率為,,(3),由熱力學(xué)第一定律可知材料的內(nèi)能U和動(dòng)能K的變化率等于外力功的變化率,,(4),§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,設(shè)物體的應(yīng)變能密度為W，則,,(5),由（1）式、力的邊界條件及奧高公式可得面力的功率為,,§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,(1),式中 為表面s的外法線 對(duì)于坐標(biāo)軸

4、 夾角的余弦。將幾何方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得,,從而,。由于,是對(duì)稱的，而,是反對(duì)稱的,。外力功率為,因而,(6),應(yīng)變率張量 和轉(zhuǎn)動(dòng)率張量,§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,由（3）、（4）和（6）式,,(7),由（5）式可得,(8),,(9),其中 為應(yīng)變張量對(duì)時(shí)間的變化率，稱為應(yīng)變率張量。,,§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,令初始狀態(tài)的應(yīng)變能W=0，則,,(10),,(11),此式給出了彈性物質(zhì)的

5、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，稱之為格林公式。,,§4-1 熱力學(xué)定律與應(yīng)變能,§4-2 各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系,線彈性材料的最一般的本構(gòu)關(guān)系（非張量形式）為：,,(12),式中,為彈性系數(shù)，它們必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)才能確定，當(dāng)它們明顯的依賴于點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，材料是非均勻的。當(dāng)只考慮均勻彈性介質(zhì)時(shí),是常數(shù)。,是全微分,,注意到應(yīng)變能密度W是狀態(tài)函數(shù)，,其有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而,,(13),所以這些彈性常數(shù)之間滿足對(duì)稱性條件,,(14),&

6、#167;4-2 各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系,（廣義格林公式）,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（12）中獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個(gè)。在對(duì)稱性條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系被稱為各向異性彈性材料的廣義胡克定律。,由齊次函數(shù)的歐拉定理和彈性體的格林公式（11）,,,(15),在這種情況下還可以得到（11）式的對(duì)偶形式,,§4-2 各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系,,注：該式只在線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系條件下才成立。,本構(gòu)關(guān)系寫(xiě)成張量形式,,式中,為四階張量，稱為彈性系數(shù)

7、張量或簡(jiǎn)稱彈性張量，獨(dú)立的彈性系數(shù)也是21個(gè)。其滿足對(duì)稱性條件,,應(yīng)變能密度W可寫(xiě)成,,卡斯提亞諾（Castigliano）公式,§4-2 各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系,（一）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面,設(shè)物體內(nèi)每點(diǎn)都有這樣一個(gè)彈性對(duì)稱面，并且這些彈性對(duì)稱面是互相平行的。取Oxy平面為彈性對(duì)稱面，Oz軸與此對(duì)稱面垂直，因此Oz軸為材料的主軸。,表示,坐標(biāo)系中的位移分量，取坐標(biāo)系 ,,使得它由關(guān)于對(duì)Oxy平面的反演

8、得到，此時(shí)位移分量為,因而有,由剪應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系可得,,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,即與z方向有關(guān)的剪應(yīng)變分量變號(hào)，其余分量不變，其中,考慮到 W 的展開(kāi)式（15） ，坐標(biāo)變換并不改變W的值。因此必須使含 和 的一次項(xiàng)的剛度系數(shù)等于0，含,和,的乘積項(xiàng)因不變號(hào)而不受限制，這樣可得,,（一）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,因此在材料具

9、有一個(gè)彈性對(duì)稱面的情況下有如下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,,(16),獨(dú)立的彈性系數(shù)只有13個(gè)。,（一）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,（二）具有三個(gè)彈性對(duì)稱面,設(shè)具有三個(gè)彈性對(duì)稱面的材料其三個(gè)彈性對(duì)稱面彼此垂直，因而，可取它們?yōu)樽鴺?biāo)平面，于是，Ox，Oy，Oz軸均為材料主軸。在（16）式中的常數(shù)進(jìn)一步有,,因此有如下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：,,(17),具有這種應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的材料稱為正交各向異性彈性材料，

10、這時(shí)獨(dú)立的彈性常數(shù)只有9個(gè)。,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,（三）各向同性面與橫觀各向同性彈性材料,若過(guò)物體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)平面，在這平面內(nèi)的各個(gè)方向上彈性性質(zhì)是相同的，則此平面是各向同性面。取Oz軸垂直于各向同性面，同時(shí)Ox軸和Oy軸位于此平面內(nèi)，并使Ox，Oy，Oz軸組成右手系。,首先將坐標(biāo)系Oxyz繞Oz軸旋轉(zhuǎn)90°，得到新坐標(biāo)系,,由應(yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的坐標(biāo)變換得,,,§4-3

11、 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,將其代入（17）式得,,將此式與（17）式比較得,,(18),（三）各向同性面與橫觀各向同性彈性材料,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,其次，將Oxyz繞Oz軸旋轉(zhuǎn)45°，則有,,于是，具有一個(gè)各向同性面的彈性材料有如下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：,,具有這種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的材料稱為橫觀各向同性彈性材料，這種材料的獨(dú)立彈性系數(shù)只有5個(gè)。,(19),（三）各向同性面與橫觀各向

12、同性彈性材料,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,現(xiàn)設(shè)物體內(nèi)通過(guò)某點(diǎn)任意平面都是彈性對(duì)稱面，因而，過(guò)該點(diǎn)的任何一個(gè)方向都是材料的主方向。稱這種材料為各向同性彈性材料。 首先，由于任何一個(gè)面都是彈性對(duì)稱面，故將坐標(biāo)系 繞 軸旋轉(zhuǎn)90°得到新的坐標(biāo)系 ，有在這種情況下，可推出,（四）完全彈性對(duì)稱與各向同性材料,（l）,（m）,§4-3 具

13、有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,獨(dú)立的彈性系數(shù)只有2個(gè),,（20）,（四）完全彈性對(duì)稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,,各向同性線性彈性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,其中 ， 和 稱為拉梅系數(shù)。（20）稱為各向同性線性彈性介質(zhì)的廣義胡克定律。各向同性線性彈性材料只有2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)；伴隨正應(yīng)變只有正應(yīng)力，同時(shí)伴隨切應(yīng)

14、變也只有切應(yīng)力。由（20）可得利用此式，可得廣義胡克定律的另一種形式,（21）,（四）完全彈性對(duì)稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,應(yīng)指出，（22）成立必須要求彈性系數(shù)滿足條件,（23）,（22）,,（四）完全彈性對(duì)稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對(duì)稱面的彈性材料的本構(gòu)關(guān)系,考慮簡(jiǎn)單拉伸情況:設(shè)拉伸方向平行于Ox軸的方向，則這時(shí)物體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為,于是，由（22）得,（a）

15、,（b）,（c）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),比較（b）, （c）得,（24）,（25）,由于,因而,（26）,（27）,考慮純剪切情況：設(shè)切應(yīng)力作用在Oxy平面，于是，物體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),因而，由（20）有,（e）,由純剪切實(shí)驗(yàn)給出,（f）,比較（c）（f），得到,（28）,（d）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),§4-4 各向同性

16、彈性材料的彈性常數(shù),楊（Young）,楊（Thomas Yang）1773年生于英國(guó)，1829年逝世。他是一個(gè)多才多藝的學(xué)者，曾以物理學(xué)及考古學(xué)著稱，他曾藉助于羅塞塔石辨認(rèn)了埃及的象形文字，他建立了光的波動(dòng)理論。在彈性理論方面首先給出了應(yīng)力、應(yīng)變間的定量數(shù)值關(guān)系，從而使得彈性力學(xué)正式成為一門科學(xué)。他還是首先考慮剪切彈性變形的科學(xué)家。,泊松（Poisson）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),泊松（Simeon-Denis

17、 Possion）1781年生于法國(guó)，1840年逝世。他原學(xué)醫(yī)學(xué)，后于1798年進(jìn)巴黎綜合工科學(xué)校改學(xué)數(shù)學(xué)。后在該校任教。著有數(shù)學(xué)、天文學(xué)、電學(xué)和力學(xué)方面的著作，其代表性力學(xué)著作《力學(xué)教程》于1811年問(wèn)世，“泊松比”便以他的名字命名。,因此若采用 作為彈性常數(shù)，則各向同性線性彈性廣義胡克定律可寫(xiě)成,（29）,（30）,,,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),采用工程應(yīng)變中的應(yīng)力分量的符號(hào)時(shí)，則廣義胡克

18、定律為,（31）,（32）,,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數(shù),在線性應(yīng)力、應(yīng)變對(duì)應(yīng)的關(guān)系中，應(yīng)變能密度W有一般 表達(dá)式,（33）,將（20）中的應(yīng)力分量代入上式得到,式中，已利用了關(guān)系式（25）利用張量的求和約定，將上式展開(kāi)得到,§4-5 各向同性彈性材料的應(yīng)變能密度,由（32）可見(jiàn)，應(yīng)變能是應(yīng)變分量 的二次齊次函數(shù)，由（27）， 所以 ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),應(yīng)變

19、能密度W亦可用應(yīng)力分量來(lái)表示，即,（34）,§4-5 各向同性彈性材料的應(yīng)變能密度,借助于（29），W還可表示為,將其展開(kāi)后得到,§4-5 各向同性彈性材料的應(yīng)變能密度,例 題,1 圖a）所示雙向拉伸薄板，在變形過(guò)程中其應(yīng)變 的關(guān)系如圖b）所示。設(shè)材料為各向同性線彈性。試沿路徑積分求在B點(diǎn)時(shí)物體中單位體積的應(yīng)變能。提示：對(duì)薄板，,圖a）,圖b）,解：,應(yīng)變能的一般公式為：,由于,所以,根據(jù)本

20、題的具體情況,由于,例 題,則,把 提出得,由于在OA段,在AB段,例 題,代入前面方程得：,積分得：,整理得：,例 題,2 根據(jù)彈性理論的應(yīng)變能公式 ，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸，彎曲及圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式：,例 題,首先推導(dǎo),例 題,其次推導(dǎo)：,例 題,再次推導(dǎo)：,例 題,例 題,3 若平均正應(yīng)力為

21、 ，平均正應(yīng)變?yōu)?，試求 與 之間的關(guān)系式。,解：代入本構(gòu)方程，可得,,作 業(yè),1 證明：對(duì)各向同性彈性體，若主應(yīng)力 ，則相應(yīng)的主應(yīng)變,2假設(shè)在各向同性彈性體中，某一單元體上有應(yīng)力 ，其余應(yīng)力分量為零。試采用路徑積分證明，沿圖所示的三種過(guò)程中的任何一種由零應(yīng)力狀態(tài)到達(dá)該應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，單位體積