§最簡原函數(shù)表分項積分法

1、第3章牛頓萊布尼茨積分和積分法1063232最簡原函數(shù)表分項積分法最簡原函數(shù)表分項積分法為了求積分，根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，需要求原函數(shù).求原函數(shù)的方法稱為積分法.像微分法那樣，萊布尼茨為積分法也設(shè)計出了一個方案：列出少數(shù)幾個求原函數(shù)的規(guī)則和公式列出少數(shù)幾個求原函數(shù)的規(guī)則和公式.求原函數(shù)時，按照規(guī)則和公式做就行了求原函數(shù)時，按照規(guī)則和公式做就行了.為了求原函數(shù)，萊布尼茨當(dāng)初用記號作為微分運算符號的逆運算符號，并用““?“d“表示函數(shù)的原函

2、數(shù).因此，()dfxx?()fx，[與接連運算相互抵消]d()d()dfxxfxx??d()()fxfx??d?例如，因為d(cos)d(cos)(sin)dsindxxxxxx???????所以sindd(cos)cosxxxx??????而且，牛頓萊布尼茨公式也可以寫成()d()dbbaafxxfxx???例如，222222sindsindcoscoscos00022xxxxx????????????????????????????

3、??即圖36中那個圖形面積的代數(shù)和為.但是它的0真正面積應(yīng)當(dāng)是222020sind2sind2(cos)Sxxxxx??????????（單位平方）2cos(cos0)22????????????【注釋】【注釋】在口語中，我們也把稱為函數(shù)的“積分”（它實際上是函()dfxx?()fx數(shù)）.為了把與()dbafxx?()dfxx?在名稱上區(qū)別開來，近代微積分中稱前者為定積分，而稱后者為不定積分(在本書中把它看作原函數(shù)的同義詞（）).讀者已

4、經(jīng)知道，函數(shù)在某區(qū)間上的任意兩個原函數(shù)只能相()fx差一個常數(shù)，因此，若是函數(shù)在某區(qū)間上的任意一個原函數(shù)，則它在該區(qū)間上()Fx()fx原函數(shù)的一般表示為（）[俄]辛欽在名著《數(shù)學(xué)分析簡明教程》中就不用“不定積分”這個術(shù)語，始終稱它為原函數(shù)。xyO2??圖362?sinyx?第3章牛頓萊布尼茨積分和積分法108，，edettt??edeuuu??edeyyy??但是不要寫成.為了避免這種書寫錯誤，近代微積分中有著者用表示函數(shù)edtx?(

5、)fx?的原函數(shù).例如，等等.但是，這種記號失去了萊布尼茨所)(xfeexx??sincostt???用記號的巧妙性！【注【注3】再次強調(diào)指出，求原函數(shù)時，求出的原函數(shù)有可能不相同.例如或21darcsin1xxx???21darccos1xxx????這兩個答案都是對的，因為原函數(shù)不是唯一的.要驗證你的結(jié)果，就對你的結(jié)果再求微分.例如2211d(arccos)d(arccos)dd11xxxxxx?????????????????因此

6、，不能由此得出結(jié)論：！實際上，.arcsinarccosxx??arcsinarccos(11)2xxx??????因此，在求原函數(shù)的運算過程中，其中的等號是在不計常數(shù)被加項意義下的“相等”.““?這又是變量數(shù)學(xué)與常量數(shù)學(xué)的區(qū)別！請你將右端求微分或?qū)?shù)，驗證下面的結(jié)果都是對的：；；.2sin2dsinxxx??2sin2dcosxxx???cos2sin2d2xxx???2.2.分項積分法分項積分法求原函數(shù)時，除了上面那些積分公式外，還

7、有求原函數(shù)的幾條規(guī)則.首先是求原函數(shù)的線性運算規(guī)則：(Ⅰ)(為常數(shù))(齊次性齊次性)??()d()dkfxxkfxx???k(Ⅱ)(可加性可加性)??()()d()d()dfxgxxfxxgxx??????可把它們一并寫成??()()d()d()dfxgxxfxxgxx??????????其中都是常數(shù).要證明它也很容易，只要把右端再求微分就行了，即??d()d()dd()dd()dfxxgxxfxxgxx????????????????