高等幾何----_第一章仿射坐標(biāo)與仿射變換(ppt)

1、1,高 等 幾 何,2,課 程 概 論,高等幾何是師范類數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一，它跟初等幾何、解析幾何、高等代數(shù)等課程有緊密的聯(lián)系；對(duì)未來中學(xué)數(shù)學(xué)教師在幾何方面基礎(chǔ)的培養(yǎng)、觀點(diǎn)的提高、思維的靈活、方法的多樣起著重要作用，有助于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高和科研能力的培養(yǎng)。本書的主要內(nèi)容是介紹射影幾何學(xué)，但為了比較起見，也引進(jìn)了仿射幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)。射影幾何學(xué)范圍大，可以包含許多其他的幾何學(xué)，例如歐氏幾何學(xué)、非歐氏幾何學(xué)、仿

2、射幾何學(xué)等。,3,課 程 概 論,射影幾何學(xué)的起源是由于繪圖和建筑上的需要。當(dāng)一個(gè)畫家要把一個(gè)實(shí)像描繪在一塊布幕上時(shí)，他用他的眼睛當(dāng)做是投影中心，把實(shí)像投影到布幕上去。他的眼睛好比燈光，把實(shí)像的影子映射到布幕上去，然后再描繪出來。在建筑上我們需要把設(shè)計(jì)的實(shí)物畫在一個(gè)面上，平面上的圖像就是實(shí)物的平面投影。 （透視圖）這種投影技術(shù)在純理論方面的發(fā)展，就成為射影幾何學(xué)。在實(shí)用方面的發(fā)展就成為工科院校的一門基礎(chǔ)課---畫法幾何學(xué)。,4

3、,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,歐氏幾何,仿射幾何,射影幾何,十九世紀(jì)名言,一切幾何學(xué)都是射影幾何,,,,,5,歐氏幾何(初等幾何),,,研究圖形在“搬動(dòng)”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等),搬動(dòng),,正交變換,,對(duì)圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的結(jié)果,歐氏幾何,,研究圖形在正交變換下不變性質(zhì)的科學(xué),6,仿射幾何,,,平行射影,仿射變換,,仿射幾何,,研究圖形在仿射變換下不變性質(zhì)的科學(xué),

4、,透視仿射對(duì)應(yīng),有限次平行射影的結(jié)果,仿射不變性,,比如——平行性、兩平行線段的比等等,7,射影幾何,,,中心射影,射影變換,,射影幾何,,研究圖形在射影變換下不變性質(zhì)的科學(xué),,透視對(duì)應(yīng),有限次中心射影的結(jié)果,射影不變性,,比如——幾條直線共點(diǎn)、幾個(gè)點(diǎn)共線等等,,,射影變換將徹底改變我們原有的幾何空間觀念！,8,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的方法,,綜合法,,給定公理系統(tǒng)(一套相互獨(dú)立、無矛盾、完備的命題系

5、統(tǒng))，演繹出全部內(nèi)容,,解析法,,數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題,,本課程,,兼用綜合法與解析法,9,課 程 概 論,,,一、高等幾何的內(nèi)容,二、高等幾何的與方法,三、開課目的,學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識(shí)，接受變換群思想。,訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。,新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何，提高觀點(diǎn)，加深理解，舉一反三。,10,主 要 內(nèi)

6、容,第二章：射影平面包括：中心射影，齊次坐標(biāo)，對(duì)偶原理，復(fù)元素第三章：射影變換與射影坐標(biāo)包括：交比，調(diào)和共軛，透視對(duì)應(yīng)，一維射影變換，二維射影變換、射影坐標(biāo)第四章：變換群與幾何學(xué)克萊因（F.Klein)的變換群觀點(diǎn)第五章：二次曲線的射影理論包括：二次曲線的射影定義，帕斯卡和布利安桑定理，極點(diǎn)，極線，配極原則，二次曲線的射影分類,第六章：二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)包括：二次曲線的中心，直徑，共軛直徑，漸近線，二次曲線的仿

7、射分類，主軸，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，二次曲線的度量分類，,第一章：仿射坐標(biāo)與仿射變換包括：透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射對(duì)應(yīng)，仿射變換和性質(zhì)，仿射坐標(biāo),11,第一章：仿射坐標(biāo)與仿射變換,定義：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的單比（ABC）定義為以下有向線段的比：,§1透視仿射對(duì)應(yīng)一.單比,當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB 上時(shí)，(ABC)<0,稱A、B為基點(diǎn)，C為分點(diǎn)．,當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB或 BA的延長線上時(shí)，,(ABC)?0,當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)A

8、重合時(shí)，,(ABC)=0,當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)B重合時(shí)，,(ABC)不存在,當(dāng)點(diǎn) C 為線段 AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)= -1,注：與定比分點(diǎn)中定比（分割比） 相差一個(gè)符號(hào)。,12,,,二.兩直線間透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換,1..兩直線間的透視仿射對(duì)應(yīng),,,,,,,,,若直線,且 ,,，,≠,≠,,,點(diǎn)A,B,C,D……,,過點(diǎn)A,B,C,D…作直線 的平行線交 于,……，則可

9、得直線,到直線,的一個(gè)映射。,稱為透視仿射對(duì)應(yīng)，記為 T,13,,,,,原象點(diǎn)： A,B,C,D…… 直線a上的點(diǎn),平行射影的方向：直線,透視仿射對(duì)應(yīng)與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射對(duì)應(yīng),,O,,,,,,,點(diǎn) O 為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)( 同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn) ),14,,,,,,,,,,,,,2.兩直線間的仿射對(duì)應(yīng),仿射對(duì)應(yīng)是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈或平行射影鏈,表示透視仿射鏈，T表示仿射對(duì)應(yīng) （如圖）,,,,,,,,,

10、,……,……,,,,,,,,,,,,,,,,,……,,,,,15,如圖所示：,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,16,,,,,注：,（1）.仿射對(duì)應(yīng)是有限次的透視仿射對(duì)應(yīng)組成的,（2）.判斷仿射對(duì)應(yīng)是否是透視仿射對(duì)應(yīng)的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否平行,（3）.書寫的順序與透視仿射對(duì)應(yīng)的順序是相反的,二 . 兩平面的透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換：,1.透視仿射對(duì)應(yīng)：,如圖,點(diǎn)A,B,C共線a，則 共線,,,,,,

11、,,,,,,,,,,,g,A,B,C,a,l,兩相交平面的交線為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸,3.兩直線間的仿射變換 與 重合的仿射對(duì)應(yīng)稱為仿射變換。,17,如圖,第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換,18,平面到平面的仿射對(duì)應(yīng)是有限次透視仿射對(duì)應(yīng)的積組成的，是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈。,三.透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換性質(zhì)：,1. 保持同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線對(duì)應(yīng)為直線.,2.保持

12、點(diǎn)與直線的結(jié)合性,2仿射對(duì)應(yīng)：,3.保持單比不變 （ABC)=(A’B’C’),4.保持平行 a‖b 則a’‖b’,3. 平面上的仿射變換 與 重合的仿射對(duì)應(yīng)稱為仿射變換。,但不保距離，不保角度！,19,例1 下列圖形在仿射變換下的對(duì)應(yīng)圖形是什么？ 平行四邊形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的內(nèi)心；三角形的垂心；角平分線；（二全等的矩形）例2 仿射變換下，正方形有哪些性

13、質(zhì)不變？其仿射象是什么圖形？ 例3 “三角形重心”與“二互相垂直直線”的仿射象各是什么？ （仿射像是另一三角形重心和兩相交直線）。,20,§3. 1仿射坐標(biāo)系,設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）。一個(gè)仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一點(diǎn) ，,仿射變換T由三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè) 的坐標(biāo)為,X軸上的單位點(diǎn) 的映象

14、 的坐標(biāo)為,y軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為,設(shè) 為P在坐標(biāo)軸上 的正射影，且 ， 則T將平行四邊形 及 分別變換為平行四邊形 及

15、 .由于T保留單比.則,§3仿射坐標(biāo),一、建立仿射坐標(biāo)系,21,,,x,y,O,,,,,P(x,y),,,,,,,?,22,平面上一定點(diǎn) O 及二不共線向量 e1、e2 構(gòu)成一個(gè)仿射標(biāo)架，記為? ? [O；e1，e2]．任意點(diǎn) M 的向徑的分解式為：,則有序數(shù)對(duì)(x, y)稱為點(diǎn)M關(guān)于標(biāo)架? 的仿射坐標(biāo)．,23,顯然，原點(diǎn) O 的坐標(biāo)是 (0, 0)；x 軸上的單位點(diǎn)為Ex(1, 0)； y 軸上

16、的單位點(diǎn)為Ey(0, 1) ．稱標(biāo)架 ? ? [O；e1，e2]為仿射坐標(biāo)系，O 稱為坐標(biāo)原點(diǎn)， e1 和 e2 稱為基本向量．,二、定理3.1 設(shè)在給定仿射坐標(biāo)系下，A(xA, yA)，B(xB, yB)，C(xC, yC)，則,,,證明：（ABC）=(AxBxCx),·,·,24,三、定理3.2 設(shè)在給定仿射坐標(biāo)系下，過P1(x1, y1)，P2(x2, y2) 的直線方程為,,證明：,即,即,25,推論：P

17、1,P2,P3共線的充要條件是,直線的一般方程仍為：,26,一、定理3.3 平面上的仿射變換式為：,§3.2 仿射變換的代數(shù)表示,證明：,如圖，設(shè),,,,27,故得仿射變換的表達(dá)式為：,因?yàn)楸伪?，所以P’在新坐標(biāo)系下坐標(biāo)為（x,y),即,28,其矩陣形式為：,確定一個(gè)仿射變換的幾何條件為：不共線的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。,注：逆變換式為,,有6個(gè)獨(dú)立參數(shù),29,用代數(shù)法可證：（1）共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)共線點(diǎn)；（2）保單比。于是得仿射變換的幾何

18、定義： 平面內(nèi)點(diǎn)之間的一一滿足：（1）共線點(diǎn)對(duì)應(yīng)共線點(diǎn)；（2）保單比。則稱為平面內(nèi)的仿射變換仿射變換的代數(shù)定義3.2：平面內(nèi)點(diǎn)之間的一個(gè)線性變換：,稱為仿射變換,30,例1,求使點(diǎn)（0，0），（1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3） ,（2，5），（3，-7）的仿射變換。,將點(diǎn),解:,,分別代入仿射變換的代數(shù)表示式得:,,,,31,∴仿射變換式為:,,例2,求仿射變換

19、 的不變直線。,解:,設(shè)所求的不變直線為:ax+by+c=0,與直線ax+by+c=0是同一條直線，所以對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例。,32,,,,,,,,因?yàn)榕c,矛盾,不變直線為,當(dāng),時(shí)，方程組有非零解,33,求使直線x=0, y=0, x+2y-1=0分別變?yōu)橹本€x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0,的仿射變換.,練習(xí):,解:,設(shè)所求的仿射變換為,則有:,34,由以上(1),(2),(3)聯(lián)立解得,35,,§3. 3幾種

20、特殊的仿射變換:,,,一、正交變換,即,即A為正交陣,即,也可寫為,第一種正交變換,第二種正交變換,36,,二、位似變換,k為位似比,幾何定義：變換f滿足（1）任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線PP’過定點(diǎn)S（2）（P’PS)=k,37,三、相似變換,1.幾何定義：f滿足,（相似比）,2.變換式,異向相似變換,同向相似變換,也可寫為,有4個(gè)獨(dú)立參數(shù)a,b,c1,c2,38,四、壓縮變換,例,將圓壓縮為橢圓，所以圓的仿射圖形為橢圓。,39,,§

21、2仿射性質(zhì),定義4.1,仿射不變性與不變量：圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（數(shù)量）稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿射不變量）。,定理4.1：,兩直線間的平行性是仿射不變性。,推論1,兩相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線。,.（反證法）假設(shè),由結(jié)合性,與,‖,矛盾,推論2,共點(diǎn)直線經(jīng)仿射變換后仍變成共點(diǎn)直線。,40,定理4.2：,兩平行線段之比是仿射不變量.,要證:,,,,,A,B,C,D,,,E,如圖,作DE AC,,=,=,∵單比是

22、仿射不變量,∴,推論,一直線上兩線段之比是仿射不變量.,41,任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.,證明：在笛卡爾坐標(biāo)系下，已知不共線的三點(diǎn),經(jīng)過仿射變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn),{注：（x’,y’) 是第一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，所以三角形的面積公式可以用},定理4.3,為常數(shù),42,推論1,在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量。,推論2,在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。,仿射不變性,平行性,單比,,,

23、平行線段的比, 兩三角形面積之比(是仿射不變量) 線段的中點(diǎn), 三角形的重心, 梯形, 平行四邊形（是仿射不變圖形 ）,43,例.求橢圓面積。,解：,O,A,B,B’,44,例.用仿射變換證明任意三角形三條中線所分成的六個(gè)三角形的面積相等。證明：任意一個(gè)三角形總存在一個(gè)仿射變換，將其變?yōu)榈冗吶切?，等邊三角形中三條中線所分成的六個(gè)三角形的面積顯然相等，再由兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量，得此命題對(duì)于任意三角形也成立。,45,例.在等腰

24、梯形中，上下底的中點(diǎn)、兩腰所在直線的交點(diǎn)、對(duì)角線交點(diǎn)這四點(diǎn)顯然共線。試進(jìn)行一仿射變換，能得出什么命題？命題：梯形中，上下底的中點(diǎn)、兩腰所在直線的交點(diǎn)、對(duì)角線交點(diǎn)這四點(diǎn)共線。,46,例子 ：求仿射變換對(duì)應(yīng)圖形,1.二全等三角形的對(duì)應(yīng)圖形是二等面積三角形。2.圓的對(duì)應(yīng)圖形是橢圓。3.兩個(gè)全等矩形對(duì)應(yīng)圖形是等積平行四邊形。4.三角形的重心變?yōu)槿切蔚闹匦摹?.相似三角形變?yōu)槊娣e比相同但是不必相似的三角形。6.三角形的內(nèi)心變?yōu)槿切?/p>