信號(hào)與系統(tǒng)分析宗偉 3

1、在滿足狄氏條件時(shí)，可展成,稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù),1．三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),3.1周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù),直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,其他形式,余弦形式,正弦形式,關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖,關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖,可畫出頻譜圖,周期信號(hào)頻譜具有離散性，諧波性，收斂性,幅度頻率特性和相位頻率特性,連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)表示為,其中,兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的基波分量,

2、的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的2次諧波分量,的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的N次諧波分量,物理含義：周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和。,2. 指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù),相頻特性,幅頻特性和相頻特性,幅頻特性,3．確定信號(hào)的基頻和周期,當(dāng)不考慮信號(hào)的直流分量時(shí), 的3個(gè)分量的角頻率分別時(shí)1/2,2/3,和7/6,相鄰兩個(gè)頻率之比為3/4,4/7,和3/7,顯然三者之間呈現(xiàn)諧波關(guān)系,他們之中的最大公約數(shù)時(shí)

3、1/6,因此1/6是基頻 ,也就時(shí)說(shuō)該信號(hào)具有3次,4次和7次諧波,進(jìn)一步可求得周期,討論,4．周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x(t),Fn,t,0,0,,,E,T,-T,,,,,,5.信號(hào)的頻帶寬度,在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)來(lái)表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。,3.2 非周期信號(hào)的頻譜分析 ─

4、 傅里葉變換,1.從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換,當(dāng)周期信號(hào)的周期T1無(wú)限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào),頻率也變成連續(xù)變量,頻譜演變的定性觀察,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-T/2,T/2,T/2,-T/2,,,,,,傅立葉變換,傅立葉的逆變換,傅立葉逆變換,物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)頻率為?，

5、復(fù)振幅為[F(?)/2p]d? 的復(fù)指數(shù)信號(hào)ejw t的線性組合。,傅立葉變換一般為復(fù)數(shù),FT一般為復(fù)函數(shù),若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù),傅立葉變換存在的充分條件,用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅立葉變換,傅立葉正變換：,傅立葉反變換：,符號(hào)表示：,試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù),[解] 非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為,由傅立葉正變換定義式，可得,(1

6、)矩形脈沖信號(hào),幅度頻譜：,相位頻譜：,2.常見非周期信號(hào)的頻譜,頻譜圖,幅度頻譜,相位頻譜,頻寬：,(2)單邊指數(shù)信號(hào),,頻譜圖,幅度頻譜：,相位頻譜：,(3)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|,幅度頻譜為,相位頻譜為,(4) 單位階躍信號(hào)ε(t),單位階躍信號(hào)及其頻譜,(5)單位沖激信號(hào)δ(t),單位沖激信號(hào)及其頻譜,7．符號(hào)函數(shù),處理方法：,做一個(gè)雙邊函數(shù),不滿足絕對(duì)可積條件,頻譜圖,1. 線性特性2. 對(duì)稱特性 3. 尺度變換

7、4. 時(shí)移特性,5. 頻移特性6. 卷積定理 7. 微分特性 8. 積分特性,3.3 傅里葉變換的性質(zhì),其中a和b均為常數(shù)。,則,1.線性特性,,2.互易對(duì)稱特性,證明:,令x=at，則dx=adt ，代入上式可得,時(shí)域壓縮，則頻域展寬；時(shí)域展寬，則頻域壓縮。,3. 尺度變換,式中t0為任意實(shí)數(shù),證明：,令x= t-t0，則dx=dt，代入上式可得,信號(hào)在時(shí)域中的時(shí)移，對(duì)應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域 中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變

8、。,4． 時(shí)移特性,試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號(hào)f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。,[解] 無(wú)延時(shí)且寬度為?的矩形脈沖信號(hào)f(t) 如右圖，,因?yàn)?故，由延時(shí)特性可得,其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為,若f(t) ?? F(jw),式中?0為任意實(shí)數(shù),證明： 由傅立葉變換定義有,則,5. 頻移特性,信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosw0 t相乘后，其頻譜是將原來(lái)信號(hào)頻譜向左右搬移w0，幅度減半。,同理,(1)時(shí)域卷積定理,證明：,6. 卷積定理,證明：

9、,(2)頻域卷積定理,(1)時(shí)域微分,則,若f(t) ?? F(jw),7. 微分性質(zhì),試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。,[解],由時(shí)域微分特性,因此有,(2)頻域微分,則,若 f(t) ?? F(jw),將上式兩邊同乘以j得,證明：,試求單位斜坡信號(hào)tε(t)的傅立葉變換。,[解] 已知單位階躍信號(hào)傅立葉變換為:,利用頻域微分特性可得:,(1)時(shí)域積分性質(zhì),也可以記作：,8. 積分性質(zhì),1. 求單位階躍函數(shù)的傅里

10、葉變換,,,解：,解：,周期信號(hào)：,非周期信號(hào)：,周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？,3.4 周期信號(hào)的傅里葉變換,由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：,其傅氏變換(用定義),,,認(rèn)識(shí),如何由 求,比較式(1),(2),周期單位沖激序列的傅里葉變換,頻譜,周期矩形脈沖序列的傅氏變換,,方法1,利用時(shí)域卷積定理，周期T1,利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì),方法2,是功率有限信號(hào),,,,定義,,f(t)的功率密度函數(shù)(功率譜）,3.5

11、信號(hào)的功率譜與能量譜,1. 功率譜,,,,,即,功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換．,由相關(guān)定理知,,所以,,又能量有限信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是,,有下列關(guān)系,2. 能量譜,,,……帕塞瓦爾方程,定義,,……能量譜密度（能譜）,,所以有,,,所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。,3.6 調(diào)制和解調(diào),1. 調(diào)制,定義,所謂調(diào)制,就是用一個(gè)信號(hào)去控制另一個(gè)信號(hào)的某一參量的過(guò)程.其中控制信號(hào)稱為調(diào)制信號(hào),被控制信號(hào)稱為載波

12、.,,乘法器,,,調(diào)制信號(hào),已調(diào)信號(hào),調(diào)制的分類按載波正弦型信號(hào)作為載波脈沖串或一組數(shù)字信號(hào)作為載波連續(xù)性模擬（連續(xù)）調(diào)制數(shù)字調(diào)制,載波是高頻正弦波,控制載波的幅度稱為調(diào)幅(AM),控制載波的頻率或者相位分別稱為調(diào)頻(FM)或調(diào)相(PM).,2. 解調(diào),將已調(diào)信號(hào)恢復(fù)成原來(lái)的調(diào)制信號(hào)的過(guò)程。,頻譜,利用包絡(luò)檢波器解調(diào),r(t)：半波整流信號(hào)w(t)：圖中得到的包絡(luò)x(t)：實(shí)際包絡(luò)，即A+g(t),3

13、.頻分復(fù)用,復(fù)用：在一個(gè)信道上傳輸多路信號(hào)。頻分復(fù)用 （FDM）時(shí)分復(fù)用 （TDM）碼分復(fù)用（碼分多址）（CDMA）波分復(fù)用（WDM）頻分復(fù)用：就是以頻段分割的方法在一個(gè)信道內(nèi)實(shí)現(xiàn)多路通信的傳輸體制。(frequency division multiply),調(diào)制，將各信號(hào)搬移到不同的頻率范圍。,3.7 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(LIT)的頻域分析,1.頻域的系統(tǒng)函數(shù)及頻域分析,,,系統(tǒng)函數(shù),僅與系統(tǒng)本身的

14、特性有關(guān),而與外加激勵(lì)無(wú)關(guān),求解響應(yīng)的傅氏變換法:,(1)將輸入激勵(lì) 變換為頻域的(2)確定系統(tǒng)函數(shù) ,可借助正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法(3)求出響應(yīng)的傅氏變換(4)求傅氏反變換,得,2.信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏?所謂信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵篙敵鲂盘?hào)與輸入信號(hào)相比只有幅度大小的變化和出現(xiàn)時(shí)間的先后,而波形上沒(méi)有任何變化.數(shù)學(xué)描述為:,● 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真 (

15、 ) 。,● 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡(jiǎn)稱頻帶。,,,3.理想濾波器,(1)沖激響應(yīng),波形,由對(duì)稱性可以從矩形脈沖的傅氏變換式得到同 樣的結(jié)果.,1．比較輸入輸出，可見嚴(yán)重失真；,2．理想低通濾波器是個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng),認(rèn)識(shí),當(dāng) 經(jīng)過(guò)理想低通時(shí)， 以上的頻率成分都衰減為0，所以失真。,信號(hào)頻帶無(wú)限寬，,而理想低通的通頻帶(系統(tǒng)頻帶)有限的,系統(tǒng)為全通網(wǎng)絡(luò)，可以 無(wú)失真?zhèn)鬏敗?原因：從h(t)