第二章 導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱

1、第二章 導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱,動力工程系,1 、重點內(nèi)容： ① 傅立葉定律及其應用；                ② 導熱系數(shù)及其影響因素；            

2、    ③ 導熱問題的數(shù)學模型。 2 、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解法 3 、了解內(nèi)容：多維導熱問題,§ 2 -1 導熱基本定律,一 、溫度場 （Temperature field）1 、概念 溫度場是指在各個時刻物體內(nèi)各點溫度分布的總稱。 由傅立葉定律知，物體的溫度分布是坐標和時間的函數(shù)：,,,,其中 為空間坐標， 為時間坐標。,

3、2 、溫度場分類 1 ）穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場） （Steady-state conduction） 是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點的溫度分布不隨時間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式：,,,2 ）非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場） （Transient conduction） 是指在變動工作條件下，物體中各點的溫度分布隨時間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式： 若物體溫度僅一個方向有變化，這種情況下的溫度場

4、稱一維溫度場。,等溫面與等溫線,等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到一個等溫線簇,等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構(gòu)成的面,等溫面與等溫線的特點：,(1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交,(2) 在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上,物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示,等溫線圖的物理意義：若每條等溫線間的溫度間隔相等時，等溫

5、線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。如圖所示是用等溫線圖表示溫度場的實例。,二 、導熱基本定律,1 、導熱基本定律（傅立葉定律） 1 ）定義：在導熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即,,2 ）數(shù)學表達式：,,,,（負號表示熱量傳遞方向與溫度升高方向相反）,3 ）傅里葉定律用熱流密度表示：,其中 ——熱流密度(單位時間內(nèi)通過單位面積

6、的熱流量)        ——物體溫度沿 x 軸方向的變化率,當物體的溫度是三個坐標的函數(shù)時，其形式為:,,是空間某點的溫度梯度；,是通過該點等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；,是該處的熱流密度矢量。,,,,式中：,2 、溫度梯度與熱流密度矢量的關系     如圖 2-2 （ a ）所示，表示了微元面積 dA 附近

7、的溫度分布及垂直于該微元面積的熱流密度矢量的關系。 1 ）熱流線     定義：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點的熱流線與該點的熱流密度矢量相切。,2 ）熱流密度矢量與熱流線的關系： 在整個物體中，熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。如圖 2-2 （ b ）所示，其特點是相鄰兩個熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構(gòu)成一熱流通道。,三 、導熱系數(shù) （ 導熱率、比例

8、系數(shù)）,1 、導熱系數(shù)的含義     導熱系數(shù)的定義式由傅里葉定律的數(shù)學表達式給出：,,數(shù)值上等于在單位溫度梯度作用下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度矢量的模。,2、影響熱導率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等,3 、保溫材料（隔熱、絕熱材料）     把導熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國規(guī)定： ≤ 350 ℃ 時， ≤ 0.12w/mk 保

9、溫材料導熱系數(shù)界定值的大小反映了一個國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。 越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。我國 50 年代 0.23W/mk 80 年代 GB4272-84 0.14w/mk GB427-92 0.12w/mk,,,4 、保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機理 ( 高效保溫材料 )     高溫時：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導熱 （ 2 ）穿過微小氣孔的導熱 更高溫度時：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)

10、構(gòu)的導熱 （ 2 ）穿過微小氣孔的導熱和輻射,5 、超級保溫材料 采取的方法：（ 1 ）夾層中抽真空（減少通過導熱而造成熱損失） （ 2 ）采用多層間隔結(jié)構(gòu)（ 1cm 達十幾層） 特點：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導熱系數(shù)可達： 10 - 4w/mk,6 、各向異性材料 指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構(gòu)不同，各方向上的 也有較大差別，這些材料稱各向異性材料。此類材料

11、必須注明方向。相反，稱各向同性材料。,§ 2-2 導熱微分方程式及定解條件,由前可知： （ 1 ）對于一維導熱問題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導熱量。 （ 2 ）對于多維導熱問題，首先獲得溫度場的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點的熱流密度矢量。,一 、導熱微分方程 1 、定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程。,2 、導熱微分方程的數(shù)學表達式

12、  導熱微分方程的推導方法，假定導熱物體是各向同性的。,1 ）針對笛卡兒坐標系中微元平行六面體     由前可知，空間任一點的熱流密度矢量可以分解為三個坐標方向的矢量。     同理，通過空間任一點任一方向的熱流量也可分解為 x 、 y 、 z 坐標方向的分熱流量，如圖 2-4 所示。,,① 通過 x=x 、 y=y 、 z=z ，三個微元表

13、面而導入微元體的熱流量：ф x 、ф y 、ф z 的計算。 根據(jù)傅立葉定律得,② 通過 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三個微元表面而導出微元體的熱流量ф x+dx 、ф y+dy 、ф z+dz 的計算。根據(jù)傅立葉定律得：,,③ 對于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時間間隔內(nèi)有以下熱平衡關系：     導入微元體的總熱流量 + 微元體內(nèi)熱源的生成熱 = 導出微元體的總熱流

14、量 + 微元體熱力學能（內(nèi)能）的增量,(c),,微元體熱力學能的增量=,,微元體內(nèi)熱源的生成熱=,,,其中 —— 微元體的密度、比熱容、單位時間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時間。,導入微元體的總熱流量導出微元體的總熱流量,將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得：,這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。 其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。,1）對上式化簡：,①導熱系數(shù)為常數(shù),,

15、式中， ，稱為熱擴散率。,②導熱系數(shù)為常數(shù) 、無內(nèi)熱源,③導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài),④導熱系數(shù)為常數(shù) 、穩(wěn)態(tài) 、無內(nèi)熱源,2）圓柱坐標系中的導熱微分方程：,3）球坐標系中的導熱微分方程：,綜上說明： （ 1 ）導熱問題仍然服從能量守恒定律； （ 2 ）等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）； （ 3 ）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內(nèi) 增加的能量 ( 擴散項 ) ； （ 4

16、 ）等號右邊最后項是源項；（ 5 ）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。,二、 定解條件,1 、定義：是指使導熱微分方程獲得適合某一特定導熱問題的求解的附加條件。,通過導熱微分方程可知，求解導熱問題，實際上就是對導熱微分方程式的求解。預知某一導熱問題的溫度分布，必須給出表征該問題的附加條件。,2 、分類 1 ）初始條件：初始時間溫度分布的初始條件； 2 ）邊界條件：導熱物體邊界上溫度

17、或換熱情況的邊界條件。 說明： ①非穩(wěn)態(tài)導熱定解條件有兩個； ②穩(wěn)態(tài)導熱定解條件只有邊界條件，無初始條件。,3 、導熱問題的常見邊界條件可歸納為 以下三類,（1）規(guī)定了邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件。對于非穩(wěn)態(tài)導熱，這類邊界條件要求給出以下關系式：,,,,（2）規(guī)定了邊界上的熱流密度值，稱為第二類邊界條件。對于非穩(wěn)態(tài)導熱，這類邊界條件要求給出以下關系式：,（3）規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及周圍流體的溫度

18、，稱為第三類邊界條件。第三類邊界條件可表示為,1 、熱擴散率的物理意義     由熱擴散率的定義可知： 1 ） 是物體的導熱系數(shù)， 越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。 2 ）是單位體積的物體溫度升高 1 ℃ 所需的熱量。 越小，溫度升高 1 ℃ 所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。,,三、有關說明,由此可見

19、ɑ物理意義： ① ɑ越大，表示物體受熱時，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，ɑ也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。,2 、導熱微分方程的適用范圍 1 ）適用于 q 不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。 2 ）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3 ）若屬極底溫度（ -273 ℃ ）時的導熱不適用。,§2-3 通過平壁，圓筒壁，球殼和其

20、它變截面物體的導熱,本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導熱。直角坐標系：,1 單層平壁的導熱,a 幾何條件：單層平板；?,b 物理條件：?、c、? 已知；無內(nèi)熱源,c 時間條件：,d 邊界條件：第一類,,x,根據(jù)上面的條件可得：,第一類邊條：,控制方程,邊界條件,,直接積分，得：,帶入邊界條件：,帶入Fourier 定律,熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的情況,線性分布,2 、熱阻的含義

21、 熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過程 , 與自然界的其他轉(zhuǎn)換過程類同 , 如 : 電量的轉(zhuǎn)換 , 動量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。其共同規(guī)律可表示為 :過程中的轉(zhuǎn)換量 = 過程中的動力 / 過程中的阻力。,在電學中，這種規(guī)律性就是歐姆定律，即,,,,在平板導熱中，與之相對應的表達式可改寫為,這種形式有助于更清楚地理解式中各項的物理意義。式中：熱流量為導熱過程的轉(zhuǎn)移量； 溫壓 為轉(zhuǎn)移過程的動力； 分母 為轉(zhuǎn)

22、移過程的阻力。,由此引出熱阻的概念： 1 ）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過程的阻力稱為熱阻。 2 ）熱阻分類：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：導熱阻、輻射熱阻、對流熱阻等。對平板導熱而言又分： 面積熱阻 R A ：單位面積的導熱熱阻稱面積熱阻。 熱阻 R ：整個平板導熱熱阻稱熱阻。,3 ）熱阻的特點：      串聯(lián)熱阻疊加原則：在一個串聯(lián)的熱量傳遞過程中，若通過各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量

23、相同，則串聯(lián)過程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。,3 多層平壁的導熱,,多層平壁：由幾層不同材料組成,例：房屋的墻壁 — 白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成,假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等,邊界條件：,熱阻：,,由熱阻分析法：,問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計算其中第 i 層的右側(cè)壁溫？,第一層：,第二層：,第 i 層：,4 單層圓筒壁的導熱,圓柱坐標系：,假設單管長度為l，圓筒壁的外半徑小于

24、長度的1/10。,一維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性：,第一類邊界條件：,(a),,對上述方程(a)積分兩次:,第一次積分,第二次積分,應用邊界條件,獲得兩個系數(shù),將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果,顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布,,下面來看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況,雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度 q 與半徑 r 成反比！,根據(jù)熱阻的定義，通過整個圓筒壁的導熱熱阻為：,,5 多層圓筒壁,由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計

25、算,通過單位長度圓筒壁的熱流量,6、通過球殼的導熱,對于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導熱，再球坐標系中也是一個一維導熱問題。相應計算公式為：,溫度分布：,熱流量：,熱阻：,,7 其它變面積或變導熱系數(shù)問題,求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量； 對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。,,此時，一維

26、Fourier定律：,當?＝?(t)時，,分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x 無關(穩(wěn)態(tài))，得,?,當 ? 隨溫度呈線性分布時，即? ＝ ?0＋at，則,實際上，不論 ? 如何變化，只要能計算出平均導熱系數(shù)，就可以利用前面講過的所有定導熱系數(shù)公式，只是需要將?換成平均導熱系數(shù)。,§2-4 通過肋片的導熱,一 基本概念 1 、肋片：指依附于基礎表面上的擴展表面 2 、常見肋片的結(jié)構(gòu)：針肋 直肋 環(huán)肋 大套片 3 、肋

27、片導熱的作用及特點 1 ）作用：增大對流換熱面積及輻射散熱面 , 以強化換熱,2 ）特點：在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射散熱， 肋片中沿導熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即： Φ≠const 。 4 、分析肋片導熱解決的問題     一是：確定肋片的溫度沿導熱熱流傳遞的方向是如何變化的？     二是：確定通過肋片的散熱熱流量有多少？

28、,1 通過等截面直肋的導熱,已知：矩形直肋肋根溫度為t0，且t0 > t?肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為 h.?，h和Ac均保持不變求：溫度場 t 和熱流量 ?,分析：假設 1 ）肋片在垂直于紙面方向 ( 即深度方向 ) 很長，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長度分析；          2 ）材料導熱系數(shù) λ 及表面?zhèn)鳠?/p>

29、系數(shù) h 均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積 Ac 不變；          3 ）表面上的換熱熱阻 1/h ，遠大于肋片的導熱熱阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變；          4 ）肋片頂端視為絕熱，即 dt/dx=0 ；,,在上述假設

30、條件下，把復雜的肋片導熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導熱如圖（b）所示并將沿程散熱量 視為負的內(nèi)熱源，則導熱微分方程式簡化為,導熱微分方程：,引入過余溫度 。令,則有：,混合邊界條件：,,方程的通解為：,應用邊界條件可得：,最后可得等截面內(nèi)的溫度分布：,雙曲余弦函數(shù),雙曲正切函數(shù),雙曲正弦函數(shù),,穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量 = 通過肋基導入肋片的熱量,肋端過余溫度： 即 x ＝ H,,2 肋片效率 為了從散熱的角

31、度評價加裝肋片后換熱效果，引進肋片效率,肋片的縱剖面積,?,影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導率 ? 、肋片表面與周圍介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）,可見， 與參量 有關，其關系曲線如圖所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用公式計算，而直接用圖查出 ，散熱量,3 通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導熱 為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面肋