臨界土力學(xué)

1、趙成剛 教授北京交通大學(xué)土建學(xué)院巖土所 二零零六年九月,學(xué)力土態(tài)狀界臨,土力學(xué)主要研究土體的在荷載和周圍環(huán)境作用下，土體的變形、強(qiáng)度（穩(wěn)定性）和滲流。,為何要學(xué)臨界土力學(xué)：,加深對(duì)土的工程性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解它是現(xiàn)代土力學(xué)本構(gòu)模型的基礎(chǔ)它是數(shù)值分析方法的基礎(chǔ)臨界狀態(tài)土力學(xué)是現(xiàn)代土力學(xué)的基石土力學(xué)模型的討論,任何

2、一種理論模型都僅僅描述了現(xiàn)實(shí)世界的一部分或某一側(cè)面。它不可能描述這一復(fù)雜世界的全部現(xiàn)象。理論模型通常都是在一些假定下建立的，即忽略次要的東西，抓住本質(zhì)。每一種理論模型都有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，及其適用范圍。理論模型有很多，有簡(jiǎn)單的，也有復(fù)雜的。應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)工程問(wèn)題的需要來(lái)選取模型。在工程允許的情況下，盡可能的采用簡(jiǎn)單模型。,土力學(xué)模型的發(fā)展（簡(jiǎn)單到復(fù)雜）,兒童期模型(經(jīng)典土力學(xué)）1）應(yīng)力計(jì)算用線彈性理論（荷載小時(shí)可用）2) 變形計(jì)算

3、本質(zhì)上是一維的3）穩(wěn)定計(jì)算不考慮變形，采用剛塑性模型（當(dāng)允許較大變形時(shí)，初始階段應(yīng)力－應(yīng)變曲線的形狀可不計(jì)及）,學(xué)生期模型它比兒童期模型更能反映實(shí)際情況，但理論也更復(fù)雜些。研發(fā)學(xué)生期模型有兩個(gè)原因：1）它可以把經(jīng)典土力學(xué)中不相關(guān)的性質(zhì)，例如強(qiáng)度，壓縮，剪脹和臨界狀態(tài)等結(jié)合在一起。使土力學(xué)各部分更加有機(jī)的連在一起，便于理解，并采用塑性力學(xué)理論進(jìn)行變形計(jì)算。2）能反映土的非線性以及土的2維和3維變形（但計(jì)算復(fù)雜，通常用有限元計(jì)算）

4、,,土力學(xué)仍然處于發(fā)展的初級(jí)階段 其主要原因在于還沒(méi)有建立起一套堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，各種概念和方法之間缺少有機(jī)的聯(lián)系和統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)（例如變形、強(qiáng)度與滲流缺少有機(jī)的聯(lián)系）；經(jīng)驗(yàn)主義和經(jīng)驗(yàn)公式還隨處可見，并居于重要的地位，這就是土力學(xué)不成熟的標(biāo)志。 臨界狀態(tài)土力學(xué)是現(xiàn)代土力學(xué)發(fā)展的里程碑。它建立了變形與強(qiáng)度之間的關(guān)系，進(jìn)一步完善了土力學(xué)的理論基礎(chǔ)。但這種發(fā)展與變化仍然沒(méi)有從根本上改變上述狀況，土力學(xué)統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)仍有待于發(fā)

5、展和研究。,臨界狀態(tài)土力學(xué)是Roscoe為代表的劍橋?qū)W派創(chuàng)立的(1958,1963,1968),Roscoe,K.H.,Schofield,A.N. and Wroch,C.P.(1958),on the yielding of soils,Geotechnigue,8(1),22-53Roscoe,K.H. and Schofield,A.N. and Thurairajah, A.H. （1963）, Yielding of so

6、ils in states wetter than critical, Geotechnique, 13, 211-240Roscoe,K.H. and Barland,T.B.(1968), On the generalised stress-strain behaviour of ‘wet’ clay, Eds by J.Heyman and F.A.Lechie, Engineering Plasticity(Cambridge

7、 University Press),pp.535-609,參考文獻(xiàn),1. Schofield A. and Wroth P.(1968), Critical State Soil Mechanics, London: McGRAW-HILL.2. Wood D.M.(1990), Soil Behavior and Critical State Soil Mechanics, New York: Cambridge Press.3

8、.趙成剛（2008），土的基本性質(zhì)和臨界狀態(tài)理論簡(jiǎn)介，自編教材,在土力學(xué)中，很多概念和想法都來(lái)自于三軸實(shí)驗(yàn)或針對(duì)三維軸對(duì)稱情況而建立的。因此在建立土的本構(gòu)模型或分析方法時(shí)，通常都以三維軸對(duì)稱情況為基礎(chǔ)而進(jìn)行，然后再推廣到一般情況。,三維軸對(duì)稱情況中σ2=σ3，則應(yīng)力不變量通常表示為：,,,,,為了使本構(gòu)關(guān)系符合熱力學(xué)基本規(guī)則，必須建立完全對(duì)偶（功共軛）的應(yīng)力和應(yīng)變的描述。與應(yīng)力在功上相對(duì)偶的應(yīng)變（2/3系數(shù)）為：,,,,,劍橋模型的基本

9、假定：,土是連續(xù)的和各向同性的飽和土。土的變形是連續(xù)的。不考慮時(shí)間的率效應(yīng)（即流變效應(yīng)）。土被認(rèn)為是一種彈塑性體。,臨界狀態(tài)的定義,在外荷載作用下土在其變形發(fā)展過(guò)程中，無(wú)論其初始狀態(tài)與應(yīng)力路徑如何，都在某一特定點(diǎn)結(jié)束，如果這一點(diǎn)存在的話，則該點(diǎn)處于臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)的定義：土體在剪切試驗(yàn)的大變形階段，它趨向于最后的臨界條件，即體積和應(yīng)力（總應(yīng)力和孔隙壓力）不變，而剪應(yīng)變還不斷持續(xù)的發(fā)展和流動(dòng)的狀態(tài)。,換句話說(shuō)，臨界狀態(tài)的出現(xiàn)就意

10、味著土已經(jīng)發(fā)生流動(dòng)破壞，并且隱含著下式成立：,,,v:lnp’空間中的臨界狀態(tài)線,Schofield（2005年）對(duì)臨界狀態(tài)做如下表述： The kernel of our ideas is the concept that soil and other granular materials, if continuously distorted until they flow as a frictional fluid, will

11、 come into a well defined state determined by two equations（我們想法的要點(diǎn)是這樣一種概念，如果土和其它顆粒材料受到連續(xù)的剪切作用直到象具有摩擦阻力的流體似地流動(dòng)時(shí)，土和顆粒材料進(jìn)入到由以下2個(gè)方程確定的狀態(tài)）： q=Mp' Γ=v+λlnp',正常固結(jié)土,正常固結(jié)土是一種歷史上沒(méi)

12、有出現(xiàn)過(guò)卸載的土。為研究方便正常固結(jié)土在固結(jié)壓力等于0時(shí)，定義其抗剪強(qiáng)度也為0。對(duì)于同一土來(lái)說(shuō)，因?yàn)闆](méi)有出現(xiàn)過(guò)卸載，所以這樣定義的正常固結(jié)土實(shí)際上是處于一種最疏松的狀態(tài)（與出現(xiàn)過(guò)卸載的土相比）。如果沿著正常固結(jié)線而固結(jié)的過(guò)程出現(xiàn)卸載，見圖7-4從B點(diǎn)開始沿BD線段卸載。BD線稱為膨脹線（膨脹曲線）或回彈線（回彈曲線）。,7-11 Isotropic compression of sand,Chapter Ten,The Critica

13、l State Line And The Roscoe Surface 10-1 Introduction 本章目的是找出一種沒(méi)有矛盾,用可以整體理解的統(tǒng)一方式描述所觀測(cè)到的土的剪切表現(xiàn).本章首先討論正常固結(jié)土的試驗(yàn)與結(jié)果. Roscoe 抓住影響土體變形的主要因素即： e+1=v; q, p′10-2 Families of undrained tests,Figure 10-1 Relationship

14、 between deviator stress q’ and axial strain εa in undrained triaxial tests on samples normally consolidated to p’e=a,2a,3a,Figure 10-2 Relationship between normalized deviator stress q’/ p’e and axial strain εa for the

15、tests in Fig.10-1,為等效固結(jié)應(yīng)力，等效固結(jié)應(yīng)力是正常固結(jié)線上相應(yīng)于某一孔隙比e的平均有效應(yīng)力，見下式：,,Figure 10-3 Stress paths in (a) q’:p’ and (b)υ:p’ space for undrained tests on normally consolidation samples,10-3 Families of drained tests,Figure 10-4 Re

16、lationship between (a) deviator stress q’ and axial strain εa and (b) volumetric strainεv in drained triaxial tests on samples isotropically normally consolidated to p’o=a,2a,3a,Figure 10-5 Relationship between normalize

17、d deviator stress q’/p’o and axial strain εa for tests shown in Fig.10-4,Figure 10-6 Stress paths in (a) q’:p’ space for drained triaxial tests on normally consolidated samples,10－4 The critical state line,Figure 10-6 St

18、ress paths in (a) q’:p’ space for drained triaxial tests on normally consolidated samples,Figure 10-8 The critical state line in υ: in p ' space(data from Parry,1960),三個(gè)公式qf ' =MP '臨界狀態(tài)線 Vf =г – λ lnPf

19、'正常固結(jié)線 V = N– λ lnP '回彈線 V =Vκ – κ lnP ',,,Table 10-1 Values of soil constants for various clays(after Schofield and Wroth,1968,p.157),10-5 ‘Drained’ and ‘Undrained’ planes,,Figure 10-9 The

20、 critical state line in q’:p’:υspace,Figure 10-10 The path followed by an undrained test in q’:p’:υspace,Figure 10-11 The path followed by a drained test in q’:p’: υ space,正常固結(jié)土，只要知道初始條件（P0 、 ν0）以及實(shí)驗(yàn)參數(shù)（M、λ、Γ）就可求得臨界狀態(tài)時(shí)的Pf

21、 、qf 、νf 不排水： ν0 ＝ νf由 νf =г – λ lnPf ' 可以得到下式 Pf ' =exp[(Γ – ν0 )/ λ] qf =M Pf ' =M exp[(Γ – ν0 )/ λ]見例題10－1,Figure 10-12 The path followed by a drained test in q

22、’:p’ space,三軸排水實(shí)驗(yàn)初始條件： P ' ＝ P0 ' ；q0 ' =0 ； u=0 δ P ' = δ P － δu = δ P =1/3(δσa + 2δσr ) δ q = δσa － δσr三軸實(shí)驗(yàn)中，圍壓為常值δσr＝0 δ P ' = 1/3δσa δ q = δσa δ q/ δ P ' =

23、3所以臨界狀態(tài)線在（P ' 、q ）平面投影的斜率等于3,三軸排水實(shí)驗(yàn)由圖10－12的幾何關(guān)系可得 qf =3(Pf ' － P0 ' ） qf =MPf '由上面二個(gè)式子消去Pf '可以得到 qf =3M P0 ' /(3－M） Pf ' = qf /M= 3 P0 ' /(3－M) νf

24、 =г – λ lnPf ' =г – λ ln[3 P0 ' /(3－M)] 見例題10－2,,Figure 10-13 Four undrained planes in q’:p’: υ space,Figure 10-14 Two drained planes in q’:p’: υ space,10-6 The Roscoe Surface,Figure 10-15 Families of drained a

25、nd undrained tests in q’:p’: υ space,結(jié)論：不論排水試驗(yàn)路徑還是不排水試驗(yàn)路徑都在Roscoe面上 驗(yàn)證的方式為：當(dāng)兩種路徑中其有效應(yīng)力點(diǎn)(P’:q’)相同時(shí)，它們是否具有相同的體積v。v相同意味著兩種試驗(yàn)路徑當(dāng)應(yīng)力相同時(shí)，都對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)v，而這些點(diǎn)可以組成一個(gè)面，該面稱為Roscoe面 。,Figure 10-16 Drained and undrained paths in q

26、’:p’ space,,為了檢驗(yàn)排水應(yīng)力路徑和不排水應(yīng)力路徑在（p`:q:v)空間中是否處于同一曲面，則應(yīng)看在（p`:q)平面上同體積形成的曲線是否相同或相似。并且2種路徑的曲線應(yīng)相互協(xié)調(diào)一致，即同體積的曲線應(yīng)從大到小協(xié)調(diào)排列，不允許曲線相互交錯(cuò)。(反證法）,,10-7 The shape of Roscoe surface,Figure 10-23 The path in q’/pe’:p’/p’e space for a dra

27、ined test,Figure 10-24 Test paths in q’/pe’:p’/p’e space for a drained test,an undrained test, and a test at constant p’ on samples of normally consolidated kaolin clay(after Balasubramaniam,1969),Figure 10-20 Path in

28、 q’/pe’:p’/p’e space for undrained tests,10-8 The Roscoe surface as a state boundary surface,,,正常固結(jié)線上的土是一種最疏松狀態(tài)的土 在正常固結(jié)線右側(cè)的土是處于比正常固結(jié)線上的土還疏松的狀態(tài)；所以正常固結(jié)線右側(cè)是一種不可能的狀態(tài)。 當(dāng)土的初始狀態(tài)點(diǎn)處于正常固結(jié)線（左側(cè)）以下時(shí)，這種狀態(tài)的土必然發(fā)生過(guò)卸載，處于超固結(jié)狀態(tài)；與正常固結(jié)土相比，

29、超固結(jié)土通常也會(huì)更加密實(shí)。正常固結(jié)線作為邊界線也可以這樣理解：當(dāng)平均有效應(yīng)力固定時(shí)，正常固結(jié)線上的體積（或比容）是最大的體積，即最疏松狀態(tài)；當(dāng)體積（或比容）固定時(shí)，正常固結(jié)線上的平均有效應(yīng)力是最大的平均有效應(yīng)力，否則大于這種最小的平均有效應(yīng)力的力就會(huì)產(chǎn)生進(jìn)一步壓縮，所以也就不會(huì)處于最疏松的狀態(tài)了。,本章小結(jié),在三維（q；p；v）空間中存在一臨界狀態(tài)線（曲線）。它是正常固結(jié)土樣在三軸壓縮時(shí)所有應(yīng)力路徑到達(dá)破壞時(shí)的終點(diǎn)。從正常固結(jié)線到臨

30、界狀態(tài)線(在q；p；v三維空間中）的所有排水或不排水試驗(yàn)的路徑都在Roscoe面上。任何試驗(yàn)的試驗(yàn)平面（排水與不排水平面）與Roscoe面的交線確定了它們所有的路徑。,Roscoe面的幾何形狀為：當(dāng)v為常數(shù)時(shí)，Roscoe面會(huì)形成一曲線。當(dāng)v為不同數(shù)值時(shí)，所形成的曲線形狀都相似，但大小不同。但當(dāng)采用p/pe：q/qe為坐標(biāo)時(shí)，則所形成的曲線是唯一的。Roscoe面是可能與不可能路徑的狀態(tài)邊界面。,Chapter Eleven,The

31、 behaviour of overconsolidation samples: the hvorslev surface 11-1 Introduction 正常固結(jié)土樣從正常固結(jié)線到達(dá)臨界狀態(tài)線時(shí)將發(fā)生破壞，同樣的概念能否用于超固結(jié)土樣，本章將討論這一問(wèn)題。,11-2 Drained tests,Figure 11-1 Compression and swelling lines,,Figure 10-25

32、 Consolidation and swelling of lightly overconsolidated samples,Figure 10-26 Paths in q’/pe’:p’/p’e space for undrained tests on lightly overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon,1967),Figure 11-2 Test data

33、from a drained test on an overconsolidated sample of Weald clay(after Bishop and Henkel,1962,p.128),Figure 10-1 Relationship between deviator stress q’ and axial strain εa in undrained triaxial tests on samples normally

34、consolidated to p’e=a,2a,3a,觀察圖11-12某一強(qiáng)超固結(jié)土樣排水實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，從圖中可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：,土的體應(yīng)變過(guò)程是先有很短一段的剪縮，然后就一直剪脹下去。這說(shuō)明強(qiáng)超固結(jié)土樣較為密實(shí)，所以才會(huì)出現(xiàn)剪脹現(xiàn)象（與正常固結(jié)土一直處于剪縮狀態(tài)不同）。圖中給出的最后狀態(tài)并沒(méi)有到達(dá)臨界狀態(tài)。原因是曲線的最后階段沒(méi)有呈水平線段，也就是說(shuō)，如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行，曲線將繼續(xù)上升或下降變化，但不能保持體積和應(yīng)力不變，所以還沒(méi)

35、有到達(dá)臨界狀態(tài)。,峰值強(qiáng)度qf′高于最后結(jié)束時(shí)的強(qiáng)度，也必然高于臨界狀態(tài)時(shí)的強(qiáng)度。再觀察圖7-7超固結(jié)土樣排水實(shí)驗(yàn)，用（p ',q）平面表示的結(jié)果。排水應(yīng)力路徑必然沿著3/1的斜率上升，到達(dá)峰值點(diǎn)q′f后，開始下降并向臨界狀態(tài)線發(fā)展，在臨界狀態(tài)線附近結(jié)束。,圖中實(shí)驗(yàn)曲線最后的應(yīng)變值已經(jīng)超過(guò)20%，經(jīng)常做三軸實(shí)驗(yàn)的人都知道，當(dāng)試樣的應(yīng)變超過(guò)20%時(shí)，試樣已經(jīng)出現(xiàn)鼓肚，因此試樣的應(yīng)力分布已經(jīng)不均勻了，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系已經(jīng)失真。,Fi

36、gure 11-3 Test path followed in the drained test of Fig.11-2,11-3 The Hvorslev surface,,Figure 11-4 Failure states of drained and undrained tests on overconsolidated samples of Weald clay(data from Parry,1960),Figure 11-

37、5 The complete state boundary surface in q’/pe’:p’/p’e space,通常假定土不能承受有效拉應(yīng)力，因此三軸實(shí)驗(yàn)時(shí)圍壓最小為零，這時(shí)三軸儀中土樣的應(yīng)力狀態(tài)為q=?σ3 ，p ' =1/3?σ3，所以q/p ' =3。這意味著土受到 ‘土不能承受有效拉應(yīng)力’的限制，其應(yīng)力狀態(tài)只能在過(guò)原點(diǎn)并且其斜率為3的直線以下的區(qū)域內(nèi)。因此圖11-5的左端，過(guò)原點(diǎn)的虛線就表示這一限制

38、，該虛線也是一狀態(tài)邊界面，稱之為無(wú)拉力切面。,Figure 11-6 The Hvorslev surface,Figure 10-21 Method of obtaining the equivalent pressure p’e,等效固結(jié)壓力（應(yīng)力）是正常固結(jié)線上相應(yīng)于某一孔隙比的平均有效應(yīng)力，見下式：,qH = (M－h(huán)) exp[(Γ – ν0 )/ λ]+hP’ 自編講義公式（7-13）至式（7-16）給出上式的具體

39、推導(dǎo)過(guò)程。,臨界狀態(tài)土力學(xué)作如下假定：1）Roscoe面是針對(duì)正常固結(jié)土或略有超固結(jié)土的狀態(tài)邊界面；2）Hvorslev面是針對(duì)超固結(jié)土的狀態(tài)邊界面；3）臨界狀態(tài)線是Roscoe面與Hvorslev面的交線。,Figure 11-16 Normalized stress paths for undrained tests on overconsolidated samples of kaolin clay(after

40、 Loudon，1967),11-4 The critical state line,,Figure 11-8 Stress-strain curve for a drained test on oversolidated clay,超固結(jié)土樣在超過(guò)極限狀態(tài)后的最后階段很少有達(dá)到臨界狀態(tài)的。即使達(dá)到臨界狀態(tài)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是不可靠的。因?yàn)橥翗与y以保證其均勻性。,超固結(jié)土樣超過(guò)極限狀態(tài)后在（q：p：v）空間朝著什么方向移動(dòng)是工程界關(guān)心的問(wèn)

41、題。Parry（1958）給出如下近似方法：,,,,,,結(jié)論：土樣在排水和不排水試驗(yàn)中，破壞后都以某種速率朝臨界狀態(tài)線方向移動(dòng)。這一結(jié)論對(duì)超固結(jié)和正常固結(jié)土樣都適用。由上述可做如下假設(shè)：不論在排水和不排水試驗(yàn)中，土樣在持續(xù)的剪切作用下，達(dá)到極限強(qiáng)度以后，將繼續(xù)向臨界狀態(tài)線方向移動(dòng)，最后到達(dá)臨界狀態(tài)線。,11-5 The complete state boundary surface,,Figure 11-13 The comple

42、te state boundary surface in q’/pe’:p’/p’e space,Figure 11-14 The complete state boundary surface in q’:p’:ν space,Figure 11-16 Normalized stress paths for undrained tests on overconsolidated samples of kaolin cla

43、y(after Loudon，1967),Figure 11-15 Expected undrained test paths for samples at different overconsolidation,Figure 11-17 A drained plane in q’:p’:νspace,,Figure 11-21 The line OA of Fig. 11-19 in ν:p’space,,,Figure 11-23

44、Failure states of drained tests on samples at different overconsolidation ratios,,Chapter twelve,The behaviour of sands12-1 Introduction砂土的變形發(fā)展過(guò)程是受初始條件（P ' ，v和密實(shí)程度）控制。,Figure 12-1 The results of drained triaxial t

45、ests on (a) a dense sample and (b) a loose sample of Brasted stand (after Bishop and Henkel,1962,p. 123),Figure 12-2 Data undrained triaxial tests on (a) medium dense and (b) loose samples of Brasted sand (after Bishop a

46、nd Henkel,1962,p. 110),Figure 12-7 Data from drained triaxial tests on Chattahoochee River sand (after Vesic and Clough,1968) 大初始?jí)毫Φ挠绊?12-2 The critical state line for sand,Figure 12-4 The position of the critical sta

47、te line in t’/s’ and υ:ln s’ space for Leighton Buzzard sand tested in the sample shear apparatus (data from Stroud,1971, and Cole,1967),,Figure 12-5 Test paths in q’/p’ and υ:p’ space for undrained tests on dense and lo

48、ose specimens of sand,Figure 12-6 Test paths in q’/p’ and υ:p’ space for a drained tests on a dense sample of sand,12-3 Normalized plots,,對(duì)于砂土來(lái)說(shuō)，存在的困難是在P：v平面中正常固結(jié)線的的斜率和N難以確定，因?yàn)楸仨氃诤艽蟮膲毫ο虏拍茉囼?yàn)取得。所以用Pe'實(shí)行歸一化不適用于砂土。,象粘土一樣

49、，砂土的應(yīng)力路徑也會(huì)到達(dá)狀態(tài)邊界面，然后一邊膨脹（或收縮），一邊沿此面移動(dòng)，最后到達(dá)臨界狀態(tài)面。當(dāng)vλ>Γ時(shí)，砂樣的體積（e）大于臨界狀態(tài)的體積(松)。q/P '的最大值在臨界狀態(tài)時(shí)到達(dá)。當(dāng)vλ<Γ時(shí)，砂樣的體積（e）小于臨界狀態(tài)的體積(密實(shí)或壓力很低）。q/P'可大于臨界狀態(tài)的M值。,12-4 The effect of dilation,,上圖和公式（12-8）僅適用于一個(gè)土塊相對(duì)另一個(gè)土塊的純側(cè)向移

50、動(dòng)，并需保持體積不變。,,令：把上面兩式代入第1行的式中后得：,Q → ?xy ; P → σ'y dv/H→dεv ;du/H→dγyx,12-5 Consequences of taylor ' s model,,注意剪脹時(shí)δv〉0；它同σ方向相反，所以做功為負(fù)功，并假定內(nèi)力所做的功都消耗在剪切摩擦中。所以有下面方程：,,Figure 12-17 Typical q’/p’:εa and εv:εa re

51、lationships for a drained triaxial test on dense sand,不排水：路徑A→C；vλ0→Г；P'0→P'u,當(dāng)Г>vλ0 （密砂）并移向臨界狀態(tài)時(shí)，其平均有效應(yīng)力必然增大，且產(chǎn)生負(fù)孔壓。 p'隨Г-vλ0而指數(shù)增加，最后達(dá)到p'u 。 Г-vλ0越大， p'u也越大。當(dāng)Г<vλ0 （松砂），其Г-vλ0很小，達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)p'u

52、也很小。,Figure 12-23 Test paths for undrained tests on loose and dense specimens of sand in q’:p’ and υ:p’ space,上圖指出，對(duì)較密砂土來(lái)說(shuō)無(wú)法保證試驗(yàn)所走路徑一定就是Hvorslev面。實(shí)際上不排水路徑是稍低于Hvorslev面的，但卻高于臨界狀態(tài)線。,Chapter Thirteen,Behaviour of soils bef

53、ore failure13-1 Introduction 臨界狀態(tài)線、狀態(tài)邊界面、排水與不排水實(shí)驗(yàn)應(yīng)力路徑、臨界狀態(tài)時(shí)體積應(yīng)變、平均應(yīng)力和偏應(yīng)變的計(jì)算。 沒(méi)有涉及剪應(yīng)變以及應(yīng)力和變形的關(guān)系,13-2 Elastic and plastic deformations: the elastic wall,Figure 13-1 Elastic-plastic behavior of metal,Figure 13-2 El

54、astic-plastic behavior of clay in isotropic and swelling,Figure 13-3 The test path from points D to E in q’:p’:ν space,假定：一般情況：土樣只有沿狀態(tài)邊界面移動(dòng)時(shí)才會(huì)產(chǎn)生塑性變形。在狀態(tài)邊界面以下的路徑移動(dòng)時(shí)，只能產(chǎn)生彈性變形或可恢復(fù)變形。按照上述假定，在彈性墻內(nèi)的應(yīng)力路徑必是超固結(jié)土，它的變形（不論是排水路徑或是

55、不排水路徑）認(rèn)為是彈性的。其路徑一旦到達(dá)上面的狀態(tài)邊界面，并在其上向臨界狀態(tài)線移動(dòng)時(shí)，必然產(chǎn)生塑性。,,Figure 13-4 The elastic wall,在彈性墻內(nèi)的應(yīng)力路徑，通常假定為彈性變形。一般情況下彈性應(yīng)變很小，而塑性應(yīng)變較大。,13-3 Calculation of elastic strains,不排水時(shí),Figure 13-5 Intersection of an elastic wall and an und

56、rained plane,超固結(jié)試樣不排水試驗(yàn)的有效應(yīng)力路徑是垂直上升的，最后到達(dá)狀態(tài)邊界面。如果再繼續(xù)加載就會(huì)產(chǎn)生塑性變形，并移向臨界狀態(tài)線。上述假定的局限性-----實(shí)際上在到達(dá)上邊界破壞面以前，就已經(jīng)存在塑性變形了,Figure 13-6 Intersection of an elastic wall and a drained plane,超固結(jié)試樣排水試驗(yàn)的有效應(yīng)力路徑DG不是直線（因彈性墻是彎曲的），且隨著P'的增

57、大而體積減小。最后到達(dá)狀態(tài)邊界面。如果再繼續(xù)加載就會(huì)產(chǎn)生塑性變形，并移向臨界狀態(tài)線F點(diǎn)。,在彈性墻內(nèi)可用下式計(jì)算體變：,對(duì)上式求導(dǎo)后得:,變應(yīng)體,書中269和270頁(yè)從式（13-12）可以看出，E依賴于v和P'。式（13-6）和（13-10）適用于超固結(jié)土在狀態(tài)邊界面以下彈性墻內(nèi)的任何路徑的彈性體變?cè)隽亢推珣?yīng)變?cè)隽康挠?jì)算。從式（13-10）可以看出，因彈性模量不是常量，在排水實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的。不排水試驗(yàn)，

58、dP'=0； P'=常量；v=常量，所以式（13-10）中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線彈性的。,13-4 Calculation of elastic strains for undrained loading in terms of total stresses 總應(yīng)力計(jì)算方法僅適用于土是飽和的、不排水（體積不變）的特殊情況。其他情況則總應(yīng)力方法不適用。,13-5 Essential plastici

59、ty theory塑性理論有三個(gè)基本要素(金屬材料）： 1. 屈服函數(shù) 2. 硬化規(guī)律 3. 流動(dòng)法則,Figure 13-7 Stress-strain behavior of an elastic-plastic soil like material. (a) State of stress in a sample. (b) Stress-strain curves for

60、σ’c=constant tests. (c) Stress-strain curves for σ’a=constant tests. (d) Stress-strain curves for σ’c=0 tests,Figure 13-8 Yielding and hardening. (a) Yield curves and failure envelope. (b) Yield surface,水的流動(dòng)是由水的勢(shì)面及其梯度決定的

61、。塑性變形或塑性流動(dòng)與水的流動(dòng)一樣，它也可以看成是由某種勢(shì)的不平衡所引起，這種勢(shì)稱為塑性勢(shì)。1928年Mises假定塑性流動(dòng)與它的塑性勢(shì)函數(shù)相關(guān)，并且這一函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)。 認(rèn)為土的塑性流動(dòng)是與它的塑性勢(shì)面和該勢(shì)面的梯度相關(guān)。,塑性勢(shì)函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)，它可表示為：,上式表明：一點(diǎn)的塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過(guò)該點(diǎn)的塑性勢(shì)面存在著正交關(guān)系。此式即確定了塑性應(yīng)變的增量方向，也確定了它的各分量之間的比值與大小。,Figure 13-9 Flo

62、w rules. (a) Plastic potential. (b) Normality condition #,塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過(guò)該點(diǎn)的塑性勢(shì)面正交。,相關(guān)聯(lián)流動(dòng)的定義：塑性勢(shì)函數(shù)與屈服函數(shù)相同。該定義意味著：塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服函數(shù)正交。注意：屈服曲線、硬化曲線和破壞曲線并不要求相同。,13-6 Plasticity for soils,土的彈塑性模型中的一些基本概念 1 共軸：主應(yīng)力與塑性主應(yīng)變?cè)?/p>

63、量共軸2 屈服面：發(fā)生塑性變形的判據(jù)3 剪脹方程：表示塑性體積應(yīng)變與剪應(yīng)變的分配比例以及它們與應(yīng)力之間的關(guān)系4塑性勢(shì)面：從幾何關(guān)系上表示塑性應(yīng)變的分配關(guān)系5 正交流動(dòng)準(zhǔn)則：塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚺c塑性勢(shì)面垂直6 相關(guān)聯(lián)：屈服面與塑性勢(shì)面相同,,Figure 13-10 An elastic wall and the corresponding yield curve,Figure 13-11 A family of yield c

64、urves,Figure 13-12 Behavior during isotropic compression and unloading #,Roscoe假定土也服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，因此土的塑性變形正交于土的屈服面。注意：土的流動(dòng)并不完全服從相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，但可近似認(rèn)為服從該法則。流動(dòng)法則(見式13－33）實(shí)際上表示了應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力之間的關(guān)系方程（剪脹方程、流動(dòng)方程）。,Figure 13-13 Strain increme

65、nts during yield,13-7 Cambridge Clay Model假定一：服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)。假定二：塑性應(yīng)變滿足式（13－33）的剪脹方程。,劍橋模型特點(diǎn)： 1 是最典型和最簡(jiǎn)單的臨界狀態(tài)模型 （模型參數(shù)M,λ,κ ） 2 控制兩端、合理建立中間部分的模型兩端: 臨界狀態(tài)和等向壓縮狀態(tài)數(shù)值擬和: 通過(guò)屈服面，以塑性體積應(yīng)變?yōu)榈戎涤不M(jìn)行數(shù)值擬和下面從式（13-33）出發(fā)，推導(dǎo)劍橋模

66、型,從熱力學(xué)的角度定義了與p和q的應(yīng)變?yōu)棣舦和εs 。利用塑性勢(shì)函數(shù)有：,由上式得：上頁(yè)第一式除第二式后，得：,把前頁(yè)最后一式代入254頁(yè)taylor模型的式（12-16）后得,令：q ' /p ' =η,解出前頁(yè)最后方程后得：,由前面討論可知：邊界面（屈服面）將與臨界狀態(tài)線上的一點(diǎn)（px ,qx ,vx)相交（見下圖）。所以有,Figure 13-14 A yield curve as predicted

67、from Cam-clay,因x點(diǎn)既是屈服面上的點(diǎn)，也是臨界狀態(tài)線上的點(diǎn)，所以有：,前頁(yè)最后一式變?yōu)椋簭暮竺鎴D13-15可見：x點(diǎn)在（p，v）平面的投影是在回彈曲線上，所以有：,Figure 13-15 A family of Cam-clay yield curves #,由前面倒數(shù)第2式可得：,解出上式得把上式代入式（13-34）得,下面給出式（13-37）屈服面的圖示,Figure 13-15 A family o

68、f Cam-clay yield curves #,排水情況的塑性變形的計(jì)算,式（13-37）可改寫為：,由剪脹方程式（13-33）得：,由式（13-6）和式（13-10）計(jì)算彈性體變和偏應(yīng)變。由式（13-44）和式（13-45）計(jì)算塑性體變和偏應(yīng)變。,Figure 13-16 Yield and hardening of Cam-clay #,Figure 13-17 Yielding and hardening in an

69、 increment of undrained loading #,Cam-Clay Model的局限性 Cam-Clay Model是反應(yīng)壓硬性和剪脹性最簡(jiǎn)單和物理意義最明確的彈塑性模型。其土性參數(shù)只有三個(gè)（M,λ,κ)。 但其研究條件：常規(guī)三軸條件下的正常固結(jié)粘土。它本質(zhì)上是二維的。（1）壓硬性方面，在?平面上，不能反應(yīng)三軸壓縮狀態(tài)以外的強(qiáng)度、屈服特性； （2）剪脹性方面，只能反應(yīng)剪切體縮，不能反