主成分分析與matlab實現(xiàn)

1、主成分分析,主成分分析的基本原理 主成分分析的計算步驟 主成分分析方法應(yīng)用實例,在實際問題研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？,問題的提出：,事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析

2、方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。 主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計分析方法。 從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。,,例如，某人要做一件上衣要測量很多尺寸，如身長、袖長、胸圍、腰圍、肩寬、肩厚等十幾項指標(biāo)，但某服裝廠要生產(chǎn)一批新型服裝絕不可能把尺寸的型號分得過多 ？而是從多種指標(biāo)中綜合成幾個少數(shù)的綜合指標(biāo)，做為分類的型號，利用主成分分析將十幾項指標(biāo)綜合成3項指標(biāo)，一項是反映

3、長度的指標(biāo)，一項是反映胖瘦的指標(biāo)，一項是反映特體的指標(biāo)。,一、主成分分析的基本原理,假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣,,（1.1）,當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。,定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)

4、，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo),(1.2),系數(shù)lij的確定原則： ① zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)；,② z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;…; zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP， 的所有線性組合中方差最大者。

5、 則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。,,從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ，…， p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij（ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。 從數(shù)學(xué)上可以證明，它們分別是相關(guān)矩陣m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。,二、主成分分析的計算步驟,設(shè)有 n 個

6、樣品，每個樣品觀測 p 個指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)寫成矩陣,1．將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。這里不妨設(shè)上邊矩陣已標(biāo)準(zhǔn)化了。,2．建立變量的相關(guān)系數(shù)陣：,3．求R的特征根,及相應(yīng)的單位特征向量：,4．寫出主成分,計算主成分貢獻(xiàn)率及累計貢獻(xiàn)率 貢獻(xiàn)率,累計貢獻(xiàn)率,一般取累計貢獻(xiàn)率達(dá)85%~95%的特征值所對應(yīng)的第1、第2、…、第m（m≤p）個主成分。,三、 實例演示,例 對全國30個省市自治區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展基本情況的八項指標(biāo)作主成分分析，原始數(shù)據(jù)如下：,,第一

7、步 將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。,第二步 建立指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)陣R如下,第三步 求R的特征值和特征向量。,從上表看，前3個特征值累計貢獻(xiàn)率已達(dá)89．564％，說明前3個主成分基本包含了全部指標(biāo)具有的信息，我們?nèi)∏?個特征值，并計算出相應(yīng)的特征向量：,因而前三個主成分為：,第一主成分：,第二主成分：,第三主成分：,在第一主成分的表達(dá)式中第一、二、三項指標(biāo)的系數(shù)較大，這三個指標(biāo)起主要作用，我們可以把第一王成分看成是由國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資

8、和居民消費水平所該劃的反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的綜合指標(biāo)；,在第二主成分中，第四、五、六、七項指標(biāo)的影響大，且第六、七項指標(biāo)的影響尤其大，可將之看成是反映物價指數(shù)、職工工資和貨物周轉(zhuǎn)量的綜合指標(biāo)；,在第三主成分中，第八項指數(shù)影響最大，遠(yuǎn)超過其它指標(biāo)的影響，可單獨看成是工業(yè)總產(chǎn)值的影響。,四.主成分分析的應(yīng)用,1.主成分分析用于系統(tǒng)評估 利用主成分F1…，F(xiàn)p做線性組合，并以每個主成分 Fi 的方差貢獻(xiàn)率 作為權(quán)數(shù)構(gòu)造一

9、個綜合評價函數(shù)： 也稱 y 為評估指數(shù)，依據(jù)對每個系統(tǒng)計算出的 y 值大小進(jìn)行排序比較或分類劃級。,例1. 城市環(huán)境生態(tài)化是城市發(fā)展的必然趁勢，表現(xiàn)為社會、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境與生態(tài)全方位的現(xiàn)代化水平，一個符合生態(tài)規(guī)律的生態(tài)城市應(yīng)該是結(jié)構(gòu)合理、功能高效和關(guān)系協(xié)調(diào)的城市生態(tài)系統(tǒng)。所謂結(jié)構(gòu)合理是指適度的人口密度，合理的土地利用，良好的環(huán)境質(zhì)量，充足的綠地系統(tǒng)，完善的基礎(chǔ)設(shè)施，有效的自然保護(hù)；功能高效是指資源的優(yōu)化配置、

10、物力的經(jīng)濟(jì)投入、人力的充分發(fā)揮、物流的暢通有序、信息流的快捷；關(guān)系協(xié)調(diào)是指人和自然協(xié)調(diào)、社會關(guān)系協(xié)調(diào)、城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)、資源利用和更新協(xié)調(diào)。一個城市要實現(xiàn)生態(tài)城市的發(fā)展目標(biāo)，關(guān)鍵是在市場經(jīng)濟(jì)的體制下逐步改善城市的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，防止生態(tài)環(huán)境質(zhì)量惡化，因此，對城市的生態(tài)環(huán)境水平調(diào)查評價很有必要。,我們對江蘇省十個城市的生態(tài)環(huán)境狀況進(jìn)行了調(diào)查，得到生態(tài)環(huán)境指標(biāo)的指數(shù)值，見表1?，F(xiàn)對生態(tài)環(huán)境水平分析和評價。,利用Matlab中的princomp命令實現(xiàn)

11、。具體程序如下X= [0.7883 0 .7391 0.8111 0.6587 0.6543 0.8259 0.8486 0.6834 0.8495 0.7846 0.7633 0.7287 0.7629 0.8552 0.7564 0.7455 0.7800 0.9490 0.8918 0.8954 0.4745 0.5126 0.8810 0.8903 0.8288 0.7850 0.8032 0.88

12、62 0.3987 0.3970 0.8246 0.7603 0.6888 0.8977 0.7926 0.7856 0.6509 0.8902 0.6799 0.9877 0.8791 0.8736 0.8183 0.9446 0.9202 0.9263 0.9185 0.9505 0.8620 0.8873 0.9538 0.9257 0.9285 0.9434 0.9154 0.8871

13、0.9357 0.8760 0.9579 0.9741 0.8785 0.8542 0.8537 0.9027 0.8729 0.8485 0.8473 0.9044 0.8866 0.9035 0.6305 0.6187 0.6313 0.7415 0.6398 0.6142 0.5734 0.8980 0.6186 0.7382 0.8928 0.7831 0.5608 0.8419 0.8

14、464 0.7616 0.8234 0.6384 0.9604 0.8514];,這樣，前三個主成分為 第一主成分貢獻(xiàn)率為43.12％，第二主成分貢獻(xiàn)率為29.34％，第三主成分貢獻(xiàn)率為11.97％，前三個主成分累計貢獻(xiàn)率達(dá)84.24％。 如果按80％ 以上的信息量選取新因子，則可以選取前三個新因子。第一新因子z1 包含的信息量最大為43.12％，它的主要代表

15、變量為X8(城市文明)、X7(生產(chǎn)效率)、X4 (城市綠化)，其權(quán)重系數(shù)分別為0.4815、0.4236、0.4048，反映了這三個變量與生態(tài)環(huán)境水平密切相關(guān)，第二新因子Z2,包含的信息量次之為29.34％，它的主要代表變量為X3(地理結(jié)構(gòu))、X6(資源配置)、X9 (可持續(xù)性)，其權(quán)重系數(shù)分別為0.5299、0.5273、0.4589，第三新因子 Z3包含的信息量為11.97％，代表總量為 X9(可持續(xù)性)、 X5(物質(zhì)還原)，權(quán)重系

16、數(shù)分別為0.5933、0.5664。這些代表變量反映了各自對該新因子作用的大小，它們是生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)中最重要的影響因素。 根據(jù)前三個主成分得分，用其貢獻(xiàn)率加權(quán)，即得十個城市各自的總得分 根據(jù)總得分排序，結(jié)果見表1。,,2.主成分回歸 考察進(jìn)口總額Y與三個自變量：國內(nèi)總產(chǎn)值x1,存儲量x2，總消費量x3之間的關(guān)系，現(xiàn)收集數(shù)據(jù)如下，試用主成分回歸分析方法求進(jìn)口總額與總產(chǎn)值、存儲量和總消費量的定量