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1、1.41.4常用的分布及其分位數(shù)常用的分布及其分位數(shù)1.1.卡平方分布卡平方分布卡平方分布、卡平方分布、t分布及分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布,它們與正態(tài)分布一起,是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。布,它們與正態(tài)分布一起,是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。當(dāng)X1、X2、…、XnXn相互獨(dú)立且都服從相互獨(dú)立且都服從N(01)N(01)時,時,Z=Z=?iiX2的分布稱為自由度等于的分布稱為自由度等于n的分布,記作分布,記作
2、Z~(n)(n),它,它2?2?的分布密度的分布密度p(p(z)=)=?????????????????002212122其他zexnznn式中的式中的=,稱為,稱為GammaGamma函數(shù),且函數(shù),且=1=1,???????2nudeuun?????012??1?=。分布是非對稱分布,具有可加性,即當(dāng)分布是非對稱分布,具有可加性,即當(dāng)Y與Z???????21π2?相互獨(dú)立,且相互獨(dú)立,且Y~(n),Z~(m),則,則YZ~(nm)。2
3、?2?2?證明證明:先令先令X1、X2、…、Xn、Xn1、Xn2、…、Xnm相互獨(dú)相互獨(dú)立且都服從立且都服從N(01),再根據(jù),再根據(jù)分布的定義以及上述隨機(jī)變分布的定義以及上述隨機(jī)變2?量的相互獨(dú)立性,令量的相互獨(dú)立性,令Y=XX…X,Z=XX…X,21222n21?n22?n2mn?YZ=XX…XXX…X,21222n21?n22?n2mn?即可得到即可得到Y(jié)Z~(nm)。2?2.2.t分布分布若X與Y相互獨(dú)立,且相互獨(dú)立,且X~N(
4、01),Y~(n),則,則Z=的分布稱為自由的分布稱為自由2?nYX度等于度等于n的t分布,記作分布,記作Z~t(n),它的分布密度,它的分布密度P(z)=。)()(221nnn???2121???????????nnz請注意:請注意:t分布的分布密度也是偶函數(shù),且當(dāng)分布的分布密度也是偶函數(shù),且當(dāng)n30n30時,時,Y=XY=X的分布密度的分布密度p(y)=)=,2Y21)(121221212nynynnnn??????????????
5、????????????與第一自由度等于與第一自由度等于1、第二自由度等于、第二自由度等于n的F分布的分布密分布的分布密度相同,因此度相同,因此Y=XY=X~F(1F(1n)。2為應(yīng)用方便起見,以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從為應(yīng)用方便起見,以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是,解應(yīng)用問題時,通常是查各自的函數(shù)值表中查出。但是,解應(yīng)用問題時,通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下:分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下:4
6、.4.常用分布的分位數(shù)常用分布的分位數(shù)1)分位數(shù)的定義)分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān),根據(jù)應(yīng)用分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān),根據(jù)應(yīng)用的需要,有三種不同的稱呼,即α分位數(shù)、上側(cè)α分位數(shù)的需要,有三種不同的稱呼,即α分位數(shù)、上側(cè)α分位數(shù)與雙側(cè)α分位數(shù),它們的定義如下:與雙側(cè)α分位數(shù),它們的定義如下:當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),實(shí)數(shù)α滿足,實(shí)數(shù)α滿足0λ=1F(λ)=α的數(shù)λ,α的數(shù)
7、λ,雙側(cè)α分位數(shù)是使雙側(cè)α分位數(shù)是使PXλ2=1F(λ2)=0.5α的數(shù)λα的數(shù)λ2。因?yàn)橐驗(yàn)?F(λ)=α,α,F(xiàn)(λ)=1α,所以上側(cè)α分位數(shù)λ就α,所以上側(cè)α分位數(shù)λ就是1α分位數(shù)α分位數(shù)x1α;F(λ1)=0.5α,α,1F(λ2)=0.5α,所以雙側(cè)α分位數(shù)λα,所以雙側(cè)α分位數(shù)λ1就是0.5α分位數(shù)α分位數(shù)x0.5α,雙側(cè)α分位數(shù)λ,雙側(cè)α分位數(shù)λ2就是就是10.5α分位α分位數(shù)x10.5α。2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)記作)
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