統(tǒng)計(jì)學(xué)常用分布及其分位數(shù)

1、1.41.4常用的分布及其分位數(shù)常用的分布及其分位數(shù)1.1.卡平方分布卡平方分布卡平方分布、卡平方分布、t分布及分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。當(dāng)X1、X2、…、XnXn相互獨(dú)立且都服從相互獨(dú)立且都服從N(01)N(01)時，時，Z=Z=?iiX2的分布稱為自由度等于的分布稱為自由度等于n的分布，記作分布，記作

2、Z～(n)(n)，它，它2?2?的分布密度的分布密度p(p(z)=)=?????????????????002212122其他zexnznn式中的式中的=，稱為，稱為GammaGamma函數(shù)，且函數(shù)，且=1=1，???????2nudeuun?????012??1?=。分布是非對稱分布，具有可加性，即當(dāng)分布是非對稱分布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z???????21π2?相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且Y～(n)，Z～(m)，則，則YZ～(nm)。2

3、?2?2?證明證明:先令先令X1、X2、…、Xn、Xn1、Xn2、…、Xnm相互獨(dú)相互獨(dú)立且都服從立且都服從N(01)，再根據(jù)，再根據(jù)分布的定義以及上述隨機(jī)變分布的定義以及上述隨機(jī)變2?量的相互獨(dú)立性，令量的相互獨(dú)立性，令Y=XX…X，Z=XX…X，21222n21?n22?n2mn?YZ=XX…XXX…X，21222n21?n22?n2mn?即可得到即可得到Y(jié)Z～(nm)。2?2.2.t分布分布若X與Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X～N(

4、01)，Y～(n)，則，則Z=的分布稱為自由的分布稱為自由2?nYX度等于度等于n的t分布，記作分布，記作Z～t(n)，它的分布密度，它的分布密度P(z)=。)()(221nnn???2121???????????nnz請注意：請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng)分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng)n30n30時，時，Y=XY=X的分布密度的分布密度p(y)=)=，2Y21)(121221212nynynnnn??????????????

5、????????????與第一自由度等于與第一自由度等于1、第二自由度等于、第二自由度等于n的F分布的分布密分布的分布密度相同，因此度相同，因此Y=XY=X～F(1F(1n)。2為應(yīng)用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從為應(yīng)用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時，通常是查各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4

6、.4.常用分布的分位數(shù)常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用的需要，有三種不同的稱呼，即α分位數(shù)、上側(cè)α分位數(shù)的需要，有三種不同的稱呼，即α分位數(shù)、上側(cè)α分位數(shù)與雙側(cè)α分位數(shù)，它們的定義如下：與雙側(cè)α分位數(shù)，它們的定義如下：當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x)，實(shí)數(shù)α滿足，實(shí)數(shù)α滿足0λ=1F(λ)=α的數(shù)λ，α的數(shù)

7、λ，雙側(cè)α分位數(shù)是使雙側(cè)α分位數(shù)是使PXλ2=1F(λ2)=0.5α的數(shù)λα的數(shù)λ2。因?yàn)橐驗(yàn)?F(λ)=α，α，F(xiàn)(λ)=1α，所以上側(cè)α分位數(shù)λ就α，所以上側(cè)α分位數(shù)λ就是1α分位數(shù)α分位數(shù)x1α；F(λ1)=0.5α，α，1F(λ2)=0.5α，所以雙側(cè)α分位數(shù)λα，所以雙側(cè)α分位數(shù)λ1就是0.5α分位數(shù)α分位數(shù)x0.5α，雙側(cè)α分位數(shù)λ，雙側(cè)α分位數(shù)λ2就是就是10.5α分位α分位數(shù)x10.5α。2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)記作）