量子物理基礎(chǔ)-嶺師-吳旭明

1、學(xué)習(xí)量子力學(xué)的困難,A. 發(fā)現(xiàn)它與我們熟悉的經(jīng)典物理 學(xué)中習(xí)慣或概念不一致B. 量子力學(xué)中的新概念不是直觀的C. 處理問題時，與經(jīng)典物理學(xué)在手 法上截然不同。,物理學(xué)研究的方法:觀察 實驗 假說 理論,量子力學(xué)簡介,1,1、輻射： 是物質(zhì)以發(fā)射電磁波的形式向外界輸出能量。,化學(xué)發(fā)光、光致發(fā)光、場致發(fā)光、陰極發(fā)光、熱輻射,2、熱輻射： 組成物質(zhì)的諸微觀粒子

2、在熱運動時都要使物體輻射電磁波，產(chǎn)生輻射場。這種與溫度有關(guān)的輻射現(xiàn)象，稱為熱輻射,3、熱輻射的一般特點：,(1）物質(zhì)在任何溫度下都有熱輻射。,(2）溫度越高，發(fā)射的能量越大，發(fā)射的電磁波的波長越短。,一、熱輻射,4、平衡熱輻射,以下只討論平衡熱輻射。,在任一時刻, 如果物體輻射的能量等于所吸收的能量，輻射過程達(dá)到熱平衡，稱為平衡熱輻射。此時物體具有固定的溫度。,§1-1 黑體輻射、普朗克量子假說,2,二、單色輻射本領(lǐng),為了定量

3、地描述不同物體在不同的溫度下物體進(jìn)行熱輻射的能力，而引入單色輻射本領(lǐng)。,1、單色輻射本領(lǐng) M?（T）,單位時間內(nèi)從物體單位表面發(fā)出的波長在 ?附近單位波長間隔內(nèi)的電磁波的能量 M ? （T）。稱單色輻射本領(lǐng)(單色輻出度),單色輻本領(lǐng)反映了在不同溫度下輻射能按波長分布的情況。,單色輻射本領(lǐng) M ? （T）是溫度T和波長?的函數(shù)。,實驗表明：不同的物體，不同的表面（如光滑程度）其單色發(fā)射本領(lǐng)是大不相同的。,（例如：如果我們目的是散

4、熱，則應(yīng)：加大表面積， 使表面粗糙，使其顏色加深）,3,2、吸收比 反射比 基爾霍夫定律,（1）吸收比 反射比,吸收比：物體吸收的能量和入射總能量的比值，?（?，T）反射比：物體反射的能量和入射總能量的比值，?（?，T）,（2）基爾霍夫定律,基爾霍夫在1860年從理論上推得 物體單色輻射本領(lǐng)與單色吸收比之間的關(guān)系:,所有物體的單色輻射本領(lǐng) M ? （T）與該物體的單色吸收比的比值為一恒量。,① 這個恒量與物體的性質(zhì)無關(guān)

5、，而只與物體的溫度和輻射能的波長有關(guān)。,4,② 說明物體的單色吸收比大的物體，其單色輻出度也大。 （例如黑色物體，吸熱能力強(qiáng)，其輻出本領(lǐng)也大）,③ 若物體不能發(fā)射某一波長的輻射能，那么該物體也就不能吸收這一波長的輻射能。,＊關(guān)于物體顏色的說明：――均指可見光范圍。例如，,紅色――表示除紅光外，其余都吸收（余類推）白色――表示對所有波長的光都不吸收。黑色――表示對所有波長的光都吸收,晚上在燈光下看物體的顏色和白天看的結(jié)果不一樣。

6、,5,三、絕對黑體,1、絕對黑體模型,由于物體輻射的光和吸收的光相同。因此黑體能輻射各種波長的光。它的M ? （T）最大且只和溫度有關(guān)。,用不透明材料制成的開一個小孔的空腔。小孔面積遠(yuǎn)小于空腔內(nèi)表面積，射入的電磁波能量幾乎全部被吸收。小孔能完全吸收各種波長的入射電磁波而成為黑體模型。,有一類物體不論它們組成成分如何，它們在常溫下，幾乎對所有波長的輻射能都能吸收。,黑體: 能完全吸收照射到它上面的各種波長的光的物體.,例如優(yōu)質(zhì)煙煤和黑

7、色琺瑯對太陽光的吸收能力可達(dá)99％。,6,（1）任何物體的單色輻射本領(lǐng)和單色吸收比等于一個恒量，而這個恒量就是同溫度下絕對黑體的單色輻射本領(lǐng)。,（2）若知道了絕對黑體的單色輻射本領(lǐng)，就可了解所有物體的輻射規(guī)律，因此，研究絕對黑體的輻射規(guī)律就對研究熱輻射極為重要。,式中 MB?(T）叫做絕對黑體的單色輻射本領(lǐng)。,由基爾霍夫定律,2、絕對黑體就是吸收系數(shù)等于 ?(? ,T)＝1的物體。,可知，這類物體在溫度相同時，發(fā)射的輻射能按波長分布

8、的規(guī)律就完全相同。,7,3. (絕對)黑體的輻射定律,實驗裝置,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,,熱電偶,平行光管,,絕對黑體,,,,,,,,,,三棱鏡,,(絕對)黑體單色輻出度按波長分布實驗,8,4、絕對黑體單色輻射本領(lǐng)按波長分布曲線,M ? （T）只和溫度有關(guān) 保持一定溫度，用實驗方法可測出單色輻射本領(lǐng)隨波長的變化曲線。取不同的溫度得到不同的實驗曲線，如圖。,9,對待這個實驗曲線，許多物理學(xué)

9、家從不同的側(cè)面進(jìn)行了研究，并得出許多重要結(jié)論。下面是有代表意義的兩條：,斯忒藩――玻爾茲曼定律 該定律主要是計算分布曲線下的面積。,維恩位移定律,由圖可看出對應(yīng)于每一條單色輻射本領(lǐng)按波長分布的曲線都有一個極大值。與這極大值對應(yīng)的波長，叫做峰值波長?m。,10,四、經(jīng)典物理學(xué)所遇到的困難,1、維恩公式,上述結(jié)果并沒有給出單色輻射本領(lǐng)的具體函數(shù)式，十九世紀(jì)未，有許多物理學(xué)家，用經(jīng)典理論導(dǎo)出的M ? （T） 公式都與實驗結(jié)果不符合，其中

10、最典型的是維恩公式和瑞利—金斯公式。,維恩假設(shè)：黑體的輻射可看成是由許多具有帶電的簡諧振子（分子，原子的振動）所發(fā)射，輻射能按頻率（波長）分布的規(guī)律類似于麥克斯韋的分子速度分布律。于1896年得出絕對黑體的單色輻出度與波長,溫度關(guān)系的一個半經(jīng)驗公式,按照這個函數(shù)繪制出的曲線,其在高頻(即短波)部份與實驗曲線能很好地相符,但在低頻(長波)部份與實驗曲線相差較遠(yuǎn)。,11,2、瑞利－金斯公式,他們把分子物理中的能量按自由均分的原理運用到電磁輻

11、射上，并認(rèn)為在黑體空腔中輻射的電磁波是諧振子所發(fā)射的駐波，這樣得到的公式為,12,在低頻段，瑞--金線與實驗曲線符合的很好； 在高頻段，瑞--金線與實驗曲線有明顯的偏離 其短波極限為無限大(???0，E???)“紫外災(zāi)難”。,13,五、普朗克的黑體輻射公式和能量子假說,熱力學(xué)與統(tǒng)計物理的理論:只有分立的能級求和才能夠才能出現(xiàn)這種數(shù)學(xué)形式,14,五、普朗克的能量子假說和黑體輻射公式,普朗克既注意

12、到維恩公式在長波(即低頻）方面的不足，又注意到了瑞利－金斯在短波（即高頻）方面的不足，為了找到一個符合黑體輻射的表達(dá)式，普朗克作了如下兩條假設(shè)。,1、普朗克假定（1900年）,(1)黑體是由帶電諧振子組成，這些諧振子輻射電磁波，并和周圍的電磁場交換能量。,(2)這些諧振子的能量不能連續(xù)變化，只能取一些分立值，這些分立值是最小能量ε的整數(shù)倍，即,ε,2ε，3ε，…，nε，…n為正整數(shù)，,? 稱為能量子，h稱為普朗克常數(shù) h =

13、6.6260755×10-34 J·s 。,而且假設(shè)頻率為?的諧振子的最小能量為　　　　　　ε=hν,15,2、普朗克公式,能量不連續(xù)的概念是經(jīng)典物理學(xué)完全不容許的！,當(dāng)???，趨于維恩公式；當(dāng)??0，趨于瑞利—金斯公式。,但從這個假定出發(fā)，Plank導(dǎo)出了與實驗曲線極為符合的普朗克公式：,16,3、普朗克假設(shè)的意義,? 當(dāng)時 普朗克 提出的能量子的假設(shè)并沒有很深刻的道理，僅僅是為了從理論上推導(dǎo)出一個和實驗相符的

14、公式。 ? 這件事本身對物理學(xué)的意義是極其深遠(yuǎn)的。能量子假設(shè)是對經(jīng)典物理的巨大突破，它直接導(dǎo)致了量子力學(xué)的誕生。 ? 能量子概念在提出5年后沒人理會，首先是愛因斯坦認(rèn)識到，并成功地解釋了“固體比熱”和“光電效應(yīng)”。 ? 普朗克本入一開始也沒能認(rèn)識到這一點。13年后才接收了他自己提出的這個概念（1918年，獲 諾貝獎）。,17,一、光電效應(yīng),金屬及其化合物在光波的照射下發(fā)射電子的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)，所發(fā)射的電子稱為光電子,

15、1、實驗裝置,§1-2 光的量子性,（1） 飽和光電流強(qiáng)度 Im與入射光強(qiáng)成正比（?不變）。,單位時間內(nèi)從金屬表面逸出的光電子數(shù)和光強(qiáng)成正比?！　　?ne ? I ?,2、光電效應(yīng)的實驗規(guī)律,當(dāng)光電流達(dá)到飽和時，陰極K上逸出的光電子全部飛到了陽極A上。,即　　Im＝neeu,18,截止電壓(遏止電勢差）,光電子的最大初動能與入射光強(qiáng)無關(guān)。 (可利用此公式，用測量遏止電勢差的方法來測量光電子的最

16、大初動能),（2） 光電子的最大初動能隨入射光的頻率的增大而增大,這表明：從陰極逸出的光電子必有初動能 (指光電子剛逸出金屬表面時具有的動能)。則對于最大初動能有。,當(dāng)電壓 U =0 時，光電流并不為零；只有當(dāng)兩極間加了反向電壓 U=－Ua <0時，光電流才為零。此電壓稱為截止電壓(遏止電勢差)。,19,從金屬表面逸出的最大初動能, 隨入射光的頻率v 呈線性增加。,k：與金屬材料無關(guān)的普適常數(shù), U0：對同一金屬是一個常量，

17、不同金屬不同,把 　代入上式可得,截止電壓Ua與入射光頻率 ? 呈線性關(guān)系,實驗表明，截止電壓與光的強(qiáng)度無關(guān)，但與光頻率成線性關(guān)系，,20,（4）光電效應(yīng)是瞬時發(fā)生的,實驗表明，只要入射光頻率 ?>?0，無論光多微弱，從光照射陰極到光電子逸出，馳豫時間不超過10-9s，無滯后現(xiàn)象。,(3) 只有當(dāng)入射光頻率?大于一定的紅限頻率?0時，才會產(chǎn)生光電效應(yīng)。,當(dāng)入射光頻率

18、? 降低到 ?0 時，光電子的最大初動能為零。若入射光頻率再降低，則無論光強(qiáng)多大都沒有光電子產(chǎn)生，不發(fā)生光電效應(yīng)。?0 稱為這種金屬的紅限頻率(截止頻率) 。,21,二、經(jīng)典物理學(xué)所遇到的困難,,按照經(jīng)典的物理理論，金屬中的自由電子是處在晶格上正電荷所產(chǎn)生的“勢阱”之中。這就好象在井底中的動物，如果沒有足夠的能量是跳不上去的。,按照經(jīng)典的波動理論，光波的能量應(yīng)與光振幅平方成正比亦即應(yīng)與光強(qiáng)有關(guān)。因此，按經(jīng)典理論，光電子的初動能應(yīng)隨入射

19、光的光強(qiáng)的增加而增加。,1、逸出功，初動能與光強(qiáng)，頻率的關(guān)系,當(dāng)光波的電場作用于電子，電子將從光波中吸取能量，克服逸出功，從低能的束縛態(tài)，跳過勢壘而達(dá)到高能的自由態(tài)，并具有一定的初動能。,但實驗表明，光電子的初動能與光強(qiáng)無關(guān)，而只與入射光的頻率呈線性增加，且存在光電效應(yīng)的頻率紅限。,2、光波的能量分布在波面上，電子積累能量需要一段時間，光電效應(yīng)不可能瞬時發(fā)生。,22,三、愛因斯坦的光量子論及愛因斯坦方程,1．普朗克的假定是不協(xié)調(diào)的

20、 普朗克假定物體只是在發(fā)射或吸收電磁輻射時才以“量子”的方式進(jìn)行，并未涉及輻射在空間的傳播。相反，他認(rèn)為電磁輻射在空間的傳播還是波動的。,2. 愛因斯坦光量子假設(shè)（1905）,h為普朗克常數(shù) h=6.626176×10-34 J·s,(1) 電磁輻射由以光速c 運動，并局限于空間某一小范圍的光量子(光子)組成，每一個光量子的能量 ? 與輻射頻率? 的關(guān)系為,(2) 光量子具有“整體性”。一

21、個光子只能整個地被電子吸收或放出。,23,（３）一束光就是一束以光速運動的粒子流，單色光的能流密度，即等于單位時間內(nèi)通過單位面積的光子數(shù)和每個光子能量之積，即,n?表示單位時間內(nèi)通過單位面積的光子數(shù)。,這也說明，在能量密度一定時，每個光子的能量越大（即頻率越高）光子數(shù)N就越小。,24,3、對光電效應(yīng)的解釋,光照射到金屬表面時，一個光子的能量可以立即被金屬中的電子吸收。但只有當(dāng)入射光的頻率足夠高，以致每個光量子的能量足夠大時，電子才有可能

22、克服逸出功 A 逸出金屬表面。根據(jù)能量守恒與轉(zhuǎn)換律,愛因斯坦光電效應(yīng)方程,因此存在紅限頻率,25,Im=neeu I?=n ? hv,ne ? n ? Im ? I?,v一定時，光強(qiáng)大的光束，說明包含的光子數(shù)多，其照射到金屬板上被電子吸收的機(jī)會也多，因而從金屬中逸出的電子數(shù)也多，這就說明了光電流隨光強(qiáng)增加而增加。,在光子流中，光的能量集中在光子上，電子與光子相遇，只

23、hv要足夠大，電子就可以立刻吸收一個光子的能量而逸出金屬表面，因而不會出現(xiàn)滯后效應(yīng)。,式中Im是飽和電流，u是電子定向運動的速度，ne光電子數(shù)；I?是光強(qiáng)，n?是光子數(shù)。,,26,四、光的波粒二象性,每個光子的能量,描述光的波動性：波長 ?，頻率 ? 描述光的粒子性：能量 ? ，動量P,按照相對論的質(zhì)能關(guān)系,光子無靜質(zhì)量 m0=0,光子的動量,引入,27,光子具有動量，顯示其有粒子性，光子具有波長，又說明其有波動性

24、。這說明，光具有波粒二象性，即在傳播過程中充分顯示它的波動性（如干涉，衍射等）而在光與實物粒子相作用時，又充分顯示它的粒子特性，光的波，粒二重特性，充分地包含在,密立根實驗確定了基本電荷e從另一種實驗上測量了h值,28,康普頓效應(yīng),1．實驗裝置：,1922—1923年康普頓研究了X射線被較輕物質(zhì)(石墨、石蠟等)散射后X光的成分，發(fā)現(xiàn)散射譜線中除了有波長與原入射X波長相同的成分外，還有波長較長的成分。這種散射現(xiàn)象稱為康普頓散射或康普頓效

25、應(yīng)?？灯疹D效應(yīng)進(jìn)一步證實了光的量子性。,29,2．實驗規(guī)律,在散射的X射線中，除有波長與入射射線相同的成分外，還有波長較長的成分。波長的偏移量為,康普頓散射的波長偏移與散射角的關(guān)系如下圖所示。,?0：入射波波長，?：散射波波長,?：散射角-散射方向與入射方向之間的夾角。,30,3．康普頓效應(yīng)的特點：,波長偏移 ?? 只與散射角有關(guān)，而與散射物質(zhì)及入射X射線 的波長?0無關(guān)：,（2）只有當(dāng)入射波長 ?0 與電子的康普頓波長?c可比擬時

26、，康普頓效應(yīng)才顯著。因此選用X射線觀察。,（3）原子量較小的物質(zhì)，康普頓散射較強(qiáng)，反之，原子量大的物質(zhì)康普頓散射較弱。,電子的康普頓波長：,31,七、康普頓效應(yīng)驗證了光的量子性：,1．經(jīng)典電磁理論的困難,2．康普頓的解釋：,按經(jīng)典理論，入射X光是電磁波，散射光的波長是不會改變的。因為散射物質(zhì)中的帶電粒子是作受迫振動，其頻率等于入射X光的頻率，故帶電粒子所發(fā)射光的頻率應(yīng)為入射的X光的頻率。,他假設(shè):入射X射線束不是頻率為 ? 的波，而是一

27、束能量為 E０＝h?０ 的光子；光量子與散射物質(zhì)中的電子之間的發(fā)生彈性碰撞，（因康普頓位移與物質(zhì)材料無關(guān)，提醒我們，散射過程與整個原子無關(guān)。經(jīng)典理論中是被吸收）且在碰撞過程中滿足能量與動量守恒。,32,（２）如果光子與束縛很緊的電子碰撞，則光子是與整個原子交換動量和能量。但原子的質(zhì)量相對于光子可視為無窮大，按碰撞理論，這時光子不會顯著地失去能量,故而散射光的頻率就不會明顯地改變，所以入射光中就有與入射光波長相同的散射光。,（３）輕原子中

28、的電子一般束縛較弱，而重原子中只有外層電子束縛較弱，因此，原子量小的物質(zhì)康普頓散射較強(qiáng)，重原子物質(zhì)康普頓散射較弱。,（１）當(dāng)光子與自由電子或束縛較弱的電子發(fā)生碰撞時，入射光子把一部分能量傳給了電子，同時光子則沿一定方向被彈開，成為散射光。由于光子的能量 E0＝h?0 已有一部分傳給了電子，因而被散射的光子的能量 E＝h? 就較之入射光子的能為低， E＝h? ?0,33,3、定量計算,利用能量與動量守恒定律有：,解出的波長偏移：

29、,光量子能量 >> 電子的束縛能， ? 電子可視為“自由”的,34,4、康普頓散射實驗的意義,(1)有力地支持了“光量子”概念。 也證實了普朗克假設(shè) ? = h?。 (2)首次實驗證實了愛因斯坦提出的“光量子具有動量”的假設(shè)。 (3)證實了在微觀的單個碰撞事件中，動量和能量守恒定律仍然是成立的。,*光電效應(yīng)與康普頓效應(yīng)的區(qū)別：,１、光電效應(yīng)是處于原子內(nèi)部束縛態(tài)的電子 與光子 的作用，這時束縛態(tài)的電子吸收了光子的全部能

30、量而逸出金屬表面；,２、康普頓效應(yīng)則是光子與準(zhǔn)自由電子的彈性碰撞，光子只是將一部分能量傳給電子，被散射光子的能量（因而頻率）低于入射光子的能量，,35,一、玻爾的氫原子理論,1、原子的核式模型與經(jīng)典電磁理論的困難,1912年盧瑟夫以其著名的? 粒子散射實驗最終地建立起了經(jīng)典的原子核式模型：原子中央有一個帶正電的核，它集中了原子的全部正電荷和幾乎全部的質(zhì)量；核半徑比電子軌道半徑小很多，相差4個數(shù)量級（統(tǒng)計力學(xué)表明原子線度約10－10m，核

31、半徑10－14—10－15m）。整個原子中正負(fù)電荷之和為零。…,36,?經(jīng)典電磁理論的困難,(1)　按經(jīng)典的電磁理論，原子應(yīng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)、原子光譜應(yīng)是連續(xù)的。(變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場產(chǎn)生磁場。所以經(jīng)典理論電子的運動輻射電磁波),輻射能量—降低動能—最終停止則原子坍塌,電子的特征長度，電子的靜止能量等于電子的靜電能,37,特征長度，波爾的量綱分析普朗克常數(shù)h（作用量子）是這個問題的關(guān)鍵,[能量]2[時間]2/[能量][長度]-

32、2 [時間]2 [能量][長度],38,二、原子光譜的實驗規(guī)律,1、光譜的分類,（1）線狀光譜 —— 光譜成線狀，是分立的，離散的， 譜線分明且清楚。這是原子光譜,（2）帶狀光譜 —— 譜線分段密集的。每段中很多有波 長相近的譜線，這是分子光譜,（3）連續(xù)光譜 —— 光譜是連續(xù)變化，譜線密接成一片， 這是一般物體的熱輻射光譜。如白熾燈的光譜,在十九世紀(jì),化學(xué),電

33、磁學(xué)的發(fā)展,都把原子結(jié)構(gòu)作為自己的研究對象,而原子發(fā)光是反映原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)或能態(tài)變化的重要現(xiàn)象。因此，對光譜的研究,是了解原子結(jié)構(gòu)的重要方法。,光譜是電磁輻射的波長成份和強(qiáng)度分布的一種記錄。,按光譜的形狀，其可分為三類,39,2、氫原子光譜的規(guī)律性,下圖是氫原子可見光譜圖，它是分立的線狀光譜。各譜線的波長是經(jīng)光譜學(xué)測定的。波長越短、譜線的間隔越小。,（1）巴爾麥公式,式中n =3, 4, 5, …….等為正整數(shù) , B=3645.7&

34、#197; 為一恒量，,1885年，瑞士物理學(xué)家巴爾麥總結(jié)出氫原子中可見光的波長滿足,40,，稱為里德伯常數(shù)。,n =3, 4, 5, …….,,1890年，瑞士的里德伯改作波長的倒數(shù)（即波數(shù)）表示,（2）廣義巴爾麥公式,41,推廣的巴爾麥公式,K可取1，2，3，4，5；對應(yīng)于每一個K值就給出一個線系，在每個線系中，n 從 (K+1) 開始取值。,3、里茲并合原理,如果把推廣的巴爾麥公式前后兩項寫成,即原子光譜的任何一條譜線的

35、波數(shù)都可以表示為兩個光譜項之差。,42,實際上，是里茲等人先總結(jié)出并合原理，而后才有帕邢系，賴曼系的發(fā)現(xiàn)，故此上述并合原理稱為里茲并合原理,4、原子光譜的實驗規(guī)律,到了二十世紀(jì)初，關(guān)于原子光譜的實驗規(guī)律已總結(jié)出：,（1）譜線的波數(shù)由兩個譜項差值決定,（2）如果前項整數(shù)參量保持不變，后項整數(shù)參量取不同值，則給出 同一譜線系中的各譜線的波數(shù),（3）改變前項整數(shù)參量值，則給出不同的譜系,這些實驗規(guī)律實際上已深刻地反映了原子內(nèi)部的某種規(guī)律，

36、但用當(dāng)時的經(jīng)典理論去研究，仍然是茫頭緒。,43,愛因斯坦的光子說已經(jīng)指出：原子發(fā)光是以光子的形式發(fā)射的，光子的能量正比于它的頻率。從能量守恒的角度來看，原子發(fā)射一個光子，能量就減少了，即從發(fā)射前的初態(tài)Ek，減少到未態(tài)能量En，即光的頻率,將此式與里茲的并合原理相比較，并將其用波數(shù)表示為,44,(2)量子化躍遷頻率假設(shè),(1)穩(wěn)定態(tài)軌道假設(shè),原子能夠，而且只能夠穩(wěn)定地存在與分立的能量(E1,E2,E3,……)相應(yīng)的一系列的狀態(tài)中，這些狀態(tài)

37、稱為定態(tài)。,原子在兩個定態(tài)躍遷時，其輻射或吸收的單色光的頻率為,三、玻爾理論的基本假設(shè),45,(3)對應(yīng)原理,大量子數(shù)極限下，量子體系的行為將趨于與經(jīng)典體系相同。,經(jīng)典情況下的中心力場的能量和周期,46,47,48,49,經(jīng)典近似,50,51,52,(3)由對應(yīng)原理得到角動量量子化假設(shè),主量子數(shù)，n＝1，2，3，……….,原子中電子繞核作圓周運動的軌道角動量 L（動量矩L）只有取 h／2π的整數(shù)倍的定態(tài)軌道是可能存在 的。即,53,3

38、、氫原子軌道半徑和能量計算,（1） 軌道半徑,同時又假定庫侖定律，牛頓定律在他的原子中仍然成立，即有,聯(lián)立求得,穩(wěn)定的軌道半徑 r 正比于主量子數(shù)n的平方，即軌道是不連續(xù)的,玻爾假定電子繞核運動的軌道角動量滿足量子化條件,54,當(dāng)n=1時，得r1=5.29177×10-11m ? 0.53A0通常稱此數(shù)為第一玻爾半徑,（2）原子能級的概念,按照經(jīng)典理論，電子在軌道上運動時，具有電勢能和動能，因此電子在某一軌道運動時，

39、其總能量為,故此軌道總能量為,55,這說明原子系統(tǒng)的能量是不連續(xù)的，量子化的。這種量子化的能量值稱為原子的能級。,或者由,由上面兩式，得,56,(3)能級躍遷圖與氫原子譜線系,57,一、德布羅意波,1、實物粒子具有波粒二象性.,§1-4 粒子的波動性,自然界在許多方面都是明顯對稱的。既然光具有波粒二象性，那么實物粒子，如電子，是否也應(yīng)具有波粒二象性？,1924年法國青年物理學(xué)家,在光的波粒二象性的啟發(fā)下提出了此問題。他認(rèn)為：

40、19世紀(jì)物理學(xué)家對光的研究只重視了光的波動性而忽視了光的微粒性,而在實物粒子(即中子,質(zhì)子,電子,原子,分子等)的研究上可能發(fā)生了相反的情況,即過分重視了實物粒子的微粒性,而沒有考慮實物粒子的波動性,因此他提出實物粒子也具有波動特性。,58,實物粒子的能量E和動量P與它相應(yīng)的波的頻率?和波長?的關(guān)系和光子一樣。,這種和實物粒子相聯(lián)系的波通常稱為德布羅意波,或叫物質(zhì)波。,59,,2 德布羅意de Broglie 波,因為自由粒子的

41、能量 E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復(fù)數(shù)形式,這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為 de Broglie 波,de Broglie 關(guān)系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h

42、= E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,60,,3 駐波條件,為了克服 Bohr 理論帶有人為性質(zhì)的缺陷， de Broglie 把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。,例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運動的電子相應(yīng)的駐波示意圖,,要求圓周長是波長的整數(shù)倍,于是角動量：,de Broglie 關(guān)系,61,二、德布羅意波的實驗驗證,1、戴維孫—

43、革末的電子衍射實驗,德布羅意波是1924年提出的,1927年便得到了驗證。戴維孫—革末看到電子的德布羅意波波長與X射線的波長相近，因此想到可用與X射線衍射相同的方法驗證。,實驗裝置和現(xiàn)象,62,,電流出現(xiàn)了周期性變化,,M,,,,,實驗結(jié)果：,63,實驗結(jié)果的解釋,戴維孫和革末在實驗中，保持d和?不變，則波長?滿足布拉格公式時：,如果電子束確有波動，則入射到晶體上的電子,當(dāng)其滿足布拉格公式時，,按德布羅意假設(shè)，電子加速后的波長滿足,當(dāng)U

44、逐漸變化時（即波長逐漸變化時），其平方根值等于一個常數(shù)C的整數(shù)倍時，接收器測到的電子數(shù)量應(yīng)出現(xiàn)峰值，結(jié)果理論和實驗符合很好。,應(yīng)在反射方向上觀察到最強(qiáng)電流,64,例如，對d=0.91 Å的鎳片,使?＝600 ， 當(dāng)加速電壓U=54V時,電流有第一級極大,布拉格公式, 算得,2、電子多晶薄膜的衍射實驗,德布羅意公式,算得,65,在此之后，人們陸續(xù)用實驗證實了原子,分子,中子，質(zhì)子也具有波動性.,實物粒子波動性的一個重要應(yīng)用就是

45、電子顯微鏡,其分辨本領(lǐng)比普通光學(xué)儀器要高幾千倍,如我國制造的電子顯微鏡,其放大率高達(dá)８０萬倍,其分解本領(lǐng)達(dá)1.44 Å,可分辨到單個原子的尺度,為研究分子結(jié)構(gòu)提供了有力武器.,66,3、對波粒二象性的理解:,(1)粒子性：“原子性”或“整體性”。 具有能量和動量。 不是經(jīng)典的粒子！,（2）波動性：“可疊加性”，“干涉”，“衍射”，“偏振”。 具有頻率

46、和波矢。 不是經(jīng)典的波，,拋棄了“軌道”的概念！,不代表實在的物質(zhì)的波動。,67,第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程,§1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 §2 態(tài)疊加原理 §3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) §4 Schrodinger 方程 §5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 §6 定態(tài)Schrodinger方程,68,§1 波函

47、數(shù)的統(tǒng)計解釋,（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì),69,3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。,稱為 de　Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。,(1) ? 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) ? 如何體現(xiàn)波粒

48、二象性的？,(3) ? 描寫的是什么樣的波呢？,（一）波函數(shù),返 回§1,70,,2 德布羅意de Broglie 波,因為自由粒子的能量 E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復(fù)數(shù)形式,這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的

49、平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為 de Broglie 波,de Broglie 關(guān)系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h = E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,71,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上

50、增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,72,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等

51、波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會

52、超過原子大小≈1 Å 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概

53、念中的粒子。,73,相速度與群速度,對于單色波，其速度指振動即位相傳播的速度，稱為相速度。,而非單色波，由于色散，不同波長成分具有不同的相速度。,非單色波，合成形成波包。波包表現(xiàn)了非單色波的群體特征。群速度,74,,,,,,,,75,1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.,,76,,a．每次接收到的是一個電子，即電子確是以一個整體出現(xiàn)

54、；b. 電子數(shù)的強(qiáng)度P1,P2，但P1 + P2 ≠ P12；,77,c．電子槍發(fā)射稀疏到，任何時刻空間至多一個電子，但足夠長的時間后，也有同樣結(jié)果。因此，我們可得到下面的結(jié)論：a´. 不能認(rèn)為，波是電子將自己以一定的密度分布于空間形成的（因接收到的是一個個電子），也不是大量電子分布形成的（稀疏時，也有同樣的現(xiàn)象）；,78,b´. 不能想像，電子通過1,2時，能像經(jīng)典電子（有軌道）那樣來描述，因P1

55、 + P2 ≠ P12,79,c´. 不能認(rèn)為衍射可能是通過縫后，電子相互作用所導(dǎo)致（稀疏時，也有同樣現(xiàn)象）?？傊?，電子（量子粒子）不能看作經(jīng)典粒子也不能用經(jīng)典波來描述（經(jīng)典波是物理量在空間的分布）,80,結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此

56、基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。,r 點附近衍射花樣的強(qiáng)度 ?正比于該點附近感光點的數(shù)目， ?正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， ?正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,81,據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)Ψ (r)有時也稱為幾率幅。

57、這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。,假設(shè)衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用 |Ψ (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。,|Ψ (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ (r)|2 Δx Δy

58、 Δz 表示在 r 點處，體積元Δx Δy Δz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，,82,（三）波函數(shù)的性質(zhì),在 t 時刻， r 點，d τ = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù) Ψ (r,t)描寫的粒子的幾率是：

59、 d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系數(shù)。,根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 稱為幾率密度。,在體積

60、 V 內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ,83,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 從而得常數(shù) C 之值為：

61、 C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。,若,∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ? ∞, 則 C ? 0, 這是沒有意義的。,84,（3）歸一化波函數(shù),這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。,Ψ (r , t ) 和

62、CΨ (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數(shù)。 因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 Ψ (r, t) 和 C

63、Ψ (r, t) 描述同一狀態(tài),可見，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,85,歸一化常數(shù),若 Ψ (r , t ) 沒有歸一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常數(shù)），則有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1,也就是說，(A)

64、-1/2Ψ (r , t )是歸一化的波函數(shù)， 與Ψ (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。,注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中α是實數(shù)

65、），與前者描述同一幾率波。,86,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數(shù),定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：,?—函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/?, dk= dpx/?, 則,性質(zhì)：,87,II 平面波 歸一化,寫成分量形式,t=0 時的平面波,考慮一維積分,若取 A12 2?? = 1，則 A1= [2??]-1/2, 于是,,,88,三維情況：,其中

66、,注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。,89,體系的波函數(shù)給出了體系所有信息（可能范圍內(nèi)的），它給出體系一個完全的描述（例如，測量粒子的能量時，可給出預(yù)言可能測得那些能量值和測得該能量值的概率，等等）。正因為如此，我們可以說波函數(shù)描述了體系所處的量子狀態(tài)，或稱狀態(tài)。以描述體系，就稱體系處于態(tài)，或稱為體系的態(tài)函數(shù),90,（一）態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會

67、產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,91,,考慮電子雙縫衍射,Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1

68、*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*],Ψ,電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度,電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,一個電子有 Ψ1 和 Ψ2 兩種可能的狀態(tài)，Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。,92,其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一

69、般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于Ψ