現(xiàn)代通信原理

1、現(xiàn)代通信原理,Modern Communication Principles,2024/3/28,信息與通信工程系,2,第三章隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析,2024/3/28,信息與通信工程系,3,本章安排,2024/3/28,信息與通信工程系,4,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)特性（某個(gè)參數(shù)或幾個(gè)參數(shù)不能 預(yù)知或不能完全預(yù)知）的信號(hào)。 確定信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)

2、的一種特定形式。隨機(jī)信號(hào)種類：包含信息的信號(hào)、各種干擾（人為干擾、 天電干擾）、噪聲（熱噪聲、散彈噪聲）隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析方法：統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)過(guò)程理論。,2024/3/28,信息與通信工程系,5,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,簡(jiǎn)單地說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程是一種取值隨機(jī)變化的時(shí)間函數(shù)，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)來(lái)表示。隨機(jī)過(guò)程兩層含意： “隨機(jī)” （指取值不確定，僅有取某個(gè)值的

3、可能性）； “過(guò)程”（為時(shí)間的函數(shù)）。 隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的集合，在任意時(shí)刻考察隨機(jī)過(guò)程的值是一個(gè)隨機(jī)變量。,,,隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)由全部可能的實(shí)現(xiàn)（或樣本函數(shù)）構(gòu)成的集合，每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。用 或 表示 。,2024/3/28,信息與通信工程系,6,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,典型隨機(jī)過(guò)程---接收機(jī)噪聲

4、,2024/3/28,信息與通信工程系,7,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,,典型隨機(jī)過(guò)程---噪聲,2024/3/28,信息與通信工程系,8,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,歸納起來(lái)，隨機(jī)過(guò)程具有如下特性：,（1）取值的隨機(jī)性；,（2）樣本的確定性。,舉例：,,,,其中 ， A 為常數(shù)， 為 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。,2024/3/28,信息與通信工程系,9,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,（1）取值的隨機(jī)性,,t1

5、=0 時(shí)，,（2）樣本的確定性,,為時(shí)間的確定函數(shù)。,2024/3/28,信息與通信工程系,10,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,隨機(jī)過(guò)程包含有空間與時(shí)間雙重概念。它一方面是各次實(shí)現(xiàn)的集合（并列的空間概念），另一方面又是時(shí)間的函數(shù)（時(shí)間的概念）。不過(guò)實(shí)踐中，不可能得到空間上并列的各樣本函數(shù)，而只能得到時(shí)間很長(zhǎng)的一次實(shí)現(xiàn)。 因此 ，可從實(shí)踐中容易獲得的一次實(shí)現(xiàn)來(lái)定義隨機(jī)過(guò)程，如圖所示。,隨機(jī)過(guò)程的實(shí)際定義：,2024/3/28

6、,信息與通信工程系,11,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,,圖中信號(hào)是隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，它是隨機(jī)取值的時(shí)間函數(shù)，在已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間上取值已經(jīng)確定，隨機(jī)性消失；在未來(lái)的時(shí)間點(diǎn)上，取值隨機(jī)，是一個(gè)隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量取值的分布規(guī)律就是隨機(jī)過(guò)程在該時(shí)間上的分布規(guī)律。,,2024/3/28,信息與通信工程系,12,3.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述,,,,,,,3.2.1 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,2024/3/28

7、,信息與通信工程系,13,3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),,,2024/3/28,信息與通信工程系,14,,,,,（2） ；,,,,正態(tài)隨機(jī)變量,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,15,,,,,,1. 一維概率分布函數(shù),2.一維概率密度函數(shù),3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與

8、通信工程系,16,,,,一維概率分布函數(shù)及一維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī) 過(guò)程在固定時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。,解：,（其中 X 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）,,故有, 隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)為：,3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,17,,,,,3. 二維概率分布函數(shù),4. 二維概率密度函數(shù),二維概率分布函數(shù)及二維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī) 過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。,3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布

9、函數(shù)和概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,18,,5. n 維概率分布函數(shù),6. n維概率密度函數(shù),3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),存在，則稱 為隨機(jī)過(guò)程的n維 概率密度函數(shù)。,如果,2024/3/28,信息與通信工程系,19,,對(duì)隨機(jī)變量,,a. 均值（數(shù)學(xué)期望、一階原點(diǎn)矩）,b. 方差（二階原點(diǎn)矩）,c.協(xié)方差（

10、對(duì)隨機(jī)變量X、Y）,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,2024/3/28,信息與通信工程系,20,對(duì)隨機(jī)過(guò)程,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,1.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）,時(shí)， 為隨機(jī)變量。,上式中，t 取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。,數(shù)學(xué)期望 X( t )在t 時(shí)刻的隨機(jī)變量的均值, 它表示了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè) 孤立時(shí) 刻上的隨機(jī)變量的概率分布中心，由一維概率密度函數(shù)所決定。

11、,2024/3/28,信息與通信工程系,21,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,2. 隨機(jī)過(guò)程的方差,時(shí)， 為隨機(jī)變量。,上式中，t 取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過(guò)程的方差。,為X( t ) 在 t 時(shí)刻的一維概率密度函數(shù)。,方差 表示了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的隨機(jī)變量對(duì)均值 的偏離程度。由一維概率密度函數(shù)所決定。,2024/3/28,信息與通信工程系,22,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,

12、J進(jìn)一步分析，,當(dāng) 時(shí)，有,（平均功率）,隨機(jī)過(guò)程的均值和方差的含義,2024/3/28,信息與通信工程系,23,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,3. 隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),均值和方差，僅描述了隨機(jī)過(guò)程在孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，它們不能反映出過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系，如圖所示。,圖中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但統(tǒng)計(jì)特性明顯不同。 X(t)變化快，Y(t)變化慢

13、， 即過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系不同或者 說(shuō) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)不同。 X(t)變化快，表明過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及小，互相依賴弱， 即自相關(guān)性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機(jī)過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及大，互相依賴強(qiáng)，即自相關(guān)性強(qiáng)。,2024/3/28,信息與通信工程系,24,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,相關(guān) ：指隨機(jī)過(guò)程在某時(shí)刻的取值對(duì)下一時(shí)刻的取值的影 響。影響越大，相關(guān)性

14、越強(qiáng)，反之，相關(guān)性越弱。,隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù),隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,25,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)常記為以下形式：,其中， t 為考察的起始時(shí)刻， 為考察的時(shí)間間隔。,綜上所述，隨機(jī)過(guò)程可以用均值、方差及自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征來(lái)描述。在實(shí)際系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征的表達(dá)往往十分簡(jiǎn)潔，因此，用數(shù)字特征來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程是行之有效的方法。,2024/3/

15、28,信息與通信工程系,26,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,式中， 是一個(gè)隨機(jī)變量，它在 范圍內(nèi)服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為,2024/3/28,信息與通信工程系,27,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,解：均值為,方差為,2024/3/28,信息與通信工程系,28,自相關(guān)函數(shù)為,,,,,,,3.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,2024/3/28,信息與通信工程系,29,3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,

16、,,,,,,隨機(jī)過(guò)程類型：獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程 馬爾可夫（Markov）過(guò)程 獨(dú)立增量過(guò)程 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程等 其中平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是應(yīng)用廣泛的一類隨機(jī)過(guò)程。,,,,,,2024/3/28,信息與通信工程系,30,,,,,,,,,,,,,,,1.定義,3.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義

17、及其含義,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是指過(guò)程的任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。即滿足,實(shí)際中，判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)，通常不是去找過(guò)程的高維分布，而是通過(guò)產(chǎn)生的環(huán)境條件來(lái)判斷。如環(huán)境條件不隨時(shí)間的變化而改變，則該過(guò)程就認(rèn)為是平穩(wěn)的。一般地說(shuō)，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,2.含義,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的變化而改變。,2024/3/28,信息與通信工程系,31,,,,,,,,1. 一維概率密度函數(shù),3.3.2平

18、穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維及二維概率密度函數(shù),由上式可見(jiàn)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)與考察時(shí)刻無(wú)關(guān)。即平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻服從相同的概率分布。,2024/3/28,信息與通信工程系,32,,,,,,,,2. 二維概率密度函數(shù),3.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維及二維概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,33,,,,,,3.3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）,2.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差,2024/

19、3/28,信息與通信工程系,34,,,,,,,,3.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),3.3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,2024/3/28,信息與通信工程系,35,,,,,,,,3.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（一）,證明：,對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，,故，有,,2024/3/28,信息與通信工程系,36,,,,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（二）,證明：,所以,由方差表示式，有：,3.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自

20、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),2024/3/28,信息與通信工程系,37,,,,,,,,,,,隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)。,隨機(jī)過(guò)程滿足任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。,3.3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（窄平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）：,廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）：,2024/3/28,信息與通信工程系,38,,,,,,,1. 隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均,,3.3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性

21、（遍歷性）,集合平均（統(tǒng)計(jì)平均）：對(duì)隨機(jī)過(guò)程所有的樣本函數(shù) 求統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均：對(duì)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)求平均。,時(shí)間方差，記為 或 ，定義為,2024/3/28,信息與通信工程系,39,,,,,3.3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）,時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，記為

22、 或 ，定義為,對(duì)一般平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征往往可以用過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來(lái)代替，即滿足以下關(guān)系：,2. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性,2024/3/28,信息與通信工程系,40,,,,,,,,3.3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）,對(duì)隨機(jī)過(guò)程中的任意一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）來(lái)說(shuō)，它好像經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程中所有可能的狀態(tài)一樣。,“各態(tài)歷經(jīng)性”將求隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征時(shí)的集合平均（統(tǒng)計(jì)平均簡(jiǎn)化為一個(gè)樣

23、本函數(shù)的時(shí)間平均了。,例如，對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程來(lái)說(shuō)，由于,“各態(tài)歷經(jīng)性”（或“遍歷性”）的含義：,故樣本函數(shù)的平均功率即為隨機(jī)過(guò)程的平均功率。,2024/3/28,信息與通信工程系,41,,,,,,,,滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件：,注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定都具有各態(tài)歷經(jīng)性。,一般來(lái)說(shuō)，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)或噪聲均能滿足該條件，因此以后將它們都視為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,3

24、.3.5 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）,2024/3/28,信息與通信工程系,42,,,,,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,維納—欣欽(Wiener-Khintchine)定理,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即它們之間有以下關(guān)系：,注: Norbert Wiener(1894-1964), American Mathematician A.I.Khi

25、ntchine(1894-1959), German Mathematician,2024/3/28,信息與通信工程系,43,,,,,,解：由維納—欣欽定理，隨機(jī)過(guò)程功率譜密度為,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,平均功率為,2024/3/28,信息與通信工程系,44,,,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,為定量描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)性與頻帶之間的關(guān)系，常使用自

26、相關(guān)時(shí)間和等效帶寬的概念。它們的含義如下：,1. 自相關(guān)時(shí)間,由于 ，故,,因而,2024/3/28,信息與通信工程系,45,,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,2. 等效帶寬,由于 ，故,因而,2024/3/28,信息與通信工程系,4

27、6,,,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,3.自相關(guān)時(shí)間與等效帶寬之間的關(guān)系,這說(shuō)明在相同的情況下，自相關(guān)時(shí)間越小，過(guò)程占有頻帶越寬；相反，自相關(guān)時(shí)間越大，過(guò)程占有頻帶越窄。 對(duì)不同的隨機(jī)過(guò)程，可通過(guò)它們各自的自相關(guān)時(shí)間及等效帶寬來(lái)比較它們的相關(guān)性。,2024/3/28,信息與通信工程系,47,,,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理,極端情況1

28、：非自相關(guān)過(guò)程。,即自相關(guān)性最弱，占有帶寬最大（無(wú)窮寬），包含有自零至無(wú)窮大的所有頻譜分量，這如同白光中包含所有可見(jiàn)光譜一樣，所以，非自相關(guān)過(guò)程又稱為白色隨機(jī)過(guò)程。,自相關(guān)函數(shù)為,功率譜密度為,自相關(guān)函數(shù)為,極端情況2：直流信號(hào)。,功率譜密度為,2024/3/28,信息與通信工程系,48,,,3.5 兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系,實(shí)際中，常需要研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)隨機(jī)過(guò)程同時(shí)出現(xiàn)的情況。例如，在信號(hào)接收時(shí)，接收到的信號(hào)往往是有用信號(hào)與噪聲的混合

29、信號(hào)，即,這里，有用信號(hào) x(t) 與噪聲 n(t) 都是隨機(jī)過(guò)程。因此有必要研究多個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性。,這里僅討論兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。,2024/3/28,信息與通信工程系,49,,3.5.1 聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù),X(t) 和Y(t)的n+m 維聯(lián)合分布函數(shù),X(t) 和Y(t) 的n+m 維聯(lián)合概率密度函數(shù),如果,2024/3/28,信息與通信工程系,50,,,X(t) 和Y(t) 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,X(t)

30、和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn),若隨機(jī)過(guò)程 X(t) 和Y(t)任意n+m 維聯(lián)合概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t) 和Y(t)是平穩(wěn)相聯(lián)系的 。,若隨機(jī)過(guò)程 X(t) 和Y(t)的各時(shí)間平均值等于各自的統(tǒng)計(jì)平均值，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t) 和Y(t)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性。,X(t) 和Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性,3.5.1 聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,51,,,3.5.2 互相關(guān)函數(shù),隨機(jī)過(guò)程X(t

31、) 和Y(t)的互相關(guān)函數(shù),如果X(t) 和Y(t)都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且是平穩(wěn)相聯(lián)系的，則,如果 X(t) 和Y(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則有,2024/3/28,信息與通信工程系,52,,,X(t) 和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù),由X(t) 和Y(t) 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件，可知如果X(t) 和Y(t) 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定是互不相關(guān)的。,X(t) 和Y(t)互不相關(guān),互不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的關(guān)系：兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定互不相關(guān)。但互不相關(guān)

32、的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程例外）,3.5.2 互相關(guān)函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,53,,,X(t) 和Y(t)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),（對(duì)平穩(wěn)相聯(lián)系的隨機(jī) 過(guò)程 X(t) 和Y(t) 來(lái)說(shuō)）,3.5.2 互相關(guān)函數(shù),互譜密度函數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,54,,,x(t)和 n(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且平穩(wěn)相聯(lián)系。,例：考慮有用信號(hào)與噪聲之和,S(t)自相關(guān)函數(shù)為,于是,3.5.2 互

33、相關(guān)函數(shù),通常認(rèn)為x(t)與n(t)之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且,故有,2024/3/28,信息與通信工程系,55,,,正態(tài)隨機(jī)過(guò)程又稱為高斯 (Gaussian) 隨機(jī)過(guò)程，是一種常見(jiàn)而又重要的隨機(jī)過(guò)程。,3.6 正態(tài)隨機(jī)過(guò)程,典型的正態(tài)隨機(jī)過(guò)程：通信系統(tǒng)中的噪聲。,3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義,3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),2024/3/28,信息與通信工程系,56,,,3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義,如果隨機(jī)過(guò)程任意維概率密度函數(shù)都服從正態(tài)

34、分 布，則稱此隨機(jī)過(guò)程為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。其n維概率密度函數(shù)為,式中， 為 在 時(shí)刻的均值；,為 在 時(shí)刻的方差；,為歸一化協(xié)方差矩陣行列式，即,2024/3/28,信息與通信工程系,57,,,3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義,其中， 為歸一化協(xié)方差系數(shù)；為,為行列式中 元素 的代數(shù)

35、余子式。,2024/3/28,信息與通信工程系,58,,3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義,正態(tài)隨機(jī)過(guò)程一維概率密度函數(shù)：,2024/3/28,信息與通信工程系,59,,,3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),1.正態(tài)隨機(jī)過(guò)程如果是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的。,2. 正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的線性變換仍是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。,參考下式,參考下式,,中心極限定理,為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。,,2024/3/28,信息與通信工程系,60,,,3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),3.

36、如果兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程互不相關(guān)，則它們也統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。,以X(t)、Y(t)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為例,（互不相關(guān)）,歸一化協(xié)方差系數(shù),2024/3/28,信息與通信工程系,61,,3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),2024/3/28,信息與通信工程系,62,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),線性系統(tǒng),,,對(duì)確定信號(hào),對(duì)隨機(jī)過(guò)程,設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，輸出隨機(jī)過(guò)程是否也平穩(wěn)？數(shù)字特征又怎樣？,問(wèn)題：,2024/3/28,信息與通信工程系,6

37、3,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),1. 輸出隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望,2.輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),（ ）,2024/3/28,信息與通信工程系,64,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),式中，,為輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。于是有,上式表明，輸出隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。因此，輸出隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，至少是廣義平穩(wěn)的。,2024/3

38、/28,信息與通信工程系,65,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),3.輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,由維納—欣欽定理,令,2024/3/28,信息與通信工程系,66,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),例3.3 設(shè)功率譜密度為 （常數(shù)）的白色隨機(jī)過(guò)程（白噪聲） 通過(guò)帶寬為B的理想低通濾波器，如圖所示。試求輸出 隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)及噪聲功率。,解：理想低通濾波器的傳輸特

39、性為,故，輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度為,2024/3/28,信息與通信工程系,67,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為,2024/3/28,信息與通信工程系,68,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出噪聲的功率為,輸出隨機(jī)過(guò)程的等效帶寬為：,自相關(guān)時(shí)間為：,2024/3/28,信息與通信工程系,69,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),例3.4 設(shè)均值為零，功率譜密度為 的高斯（正態(tài)）白

40、噪聲通 過(guò)如圖所示的RC低通濾波器，試求輸出隨機(jī)過(guò)程的一維 概率密度函數(shù)。,解：由性質(zhì)可知，高斯白噪聲通過(guò)線 性系統(tǒng)后輸出過(guò)程仍然是高斯分 布的隨機(jī)過(guò)程。,RC低通濾波器的傳輸特性為,輸出隨機(jī)過(guò)程的均值為,2024/3/28,信息與通信工程系,70,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),輸出隨機(jī)過(guò)程的方差（或功

41、率）,故，輸出隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)為,2024/3/28,信息與通信工程系,71,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),例3.5 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)如圖所示的乘法器，若已知隨 機(jī)過(guò)程的功率譜，試求乘法器輸出響應(yīng)的功率譜。,解：乘法運(yùn)算是非線性變換過(guò)程， 因此，,為得到輸出功率譜，可先求輸出響應(yīng)自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行傅立葉變換。,2024/3/28,信息與通信工程系,72,,,3.7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通

42、過(guò)線性系統(tǒng),由上式可見(jiàn)，輸出隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間有關(guān)，因此不是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,式中， 為輸入隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)。,對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程求功率譜時(shí)，應(yīng)先將其自相關(guān)函數(shù)求時(shí)間平均，再進(jìn)行傅立葉變換。,對(duì) 求時(shí)間平均，,輸出隨機(jī)過(guò)

43、程功率譜為,結(jié)果為,2024/3/28,信息與通信工程系,73,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,加性噪聲（獨(dú)立于信號(hào)而存在，它始終干擾著有 用信號(hào)的傳輸。）,噪聲,乘性噪聲（與信號(hào)本身密切相關(guān)，它可以通過(guò)合 理地設(shè)計(jì)信號(hào)及系統(tǒng)特性等措施來(lái)消除）,,加性噪聲,外部噪聲（由信道引入，包括人為噪聲、工業(yè)

44、 干擾和天電噪聲。 ）,內(nèi)部噪聲（由通信設(shè)備內(nèi)部產(chǎn)生，它對(duì)信號(hào)的 影響最為嚴(yán)重，是研究的重點(diǎn)。）,,內(nèi)部噪聲通常認(rèn)為是白噪聲，是一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。理想的白噪聲服從高斯分布，一般稱為加性高斯白噪聲（AWGN）。,2024/3/28,信息與通信工程系,74,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,理想白噪聲可認(rèn)為是由大量寬度為無(wú)窮窄的脈沖隨機(jī)疊加而成的，如圖所示。,如前所述，白噪聲是一個(gè)非自相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，它

45、包含有自零至無(wú)窮大的所有頻譜分量，這類似于光學(xué)中包括有全部可見(jiàn)光譜的白光。,白噪聲功率譜密度是一個(gè)常數(shù)，為,2024/3/28,信息與通信工程系,75,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,由維納—欣欽定理，可得白噪聲自相關(guān)函數(shù)為,理想白噪聲是不存在的。通常在工程實(shí)踐中遇到的噪聲是帶限的，帶限噪聲或帶內(nèi)功率譜分布不均勻的噪聲稱為有色噪聲。 但當(dāng)帶限噪聲功率譜均勻分布的頻帶范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的工作帶寬時(shí)，就可以認(rèn)為該噪聲具有白噪

46、聲特性。,2024/3/28,信息與通信工程系,76,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,通信系統(tǒng)中典型的白噪聲：散彈噪聲、熱噪聲,散彈噪聲：由通信設(shè)備中有源器件內(nèi)部的載流子或電子發(fā)射的不均勻性引起的一種起伏過(guò)程。,散彈噪聲功率譜密度,2024/3/28,信息與通信工程系,77,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,熱噪聲（電阻熱噪聲）：由通信設(shè)備中電阻類器件（如天 線）內(nèi)部的電子熱運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）引起的一種起伏過(guò)程。,熱噪聲的電

47、壓功率譜密度為,2024/3/28,信息與通信工程系,78,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,等效電流功率譜密度為,電壓源的噪聲功率為,噪聲電壓源的均方根電壓值為,同理，電流源的噪聲功率為,噪聲電流源的均方根電流值為,2024/3/28,信息與通信工程系,79,,,3.8 白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲,線性網(wǎng)絡(luò)中包含電阻類元件時(shí)熱噪聲功率譜計(jì)算,圖中a、b點(diǎn)之間的電壓熱噪聲的功率譜為,式中，

48、為電阻的電壓功率譜密度。,2024/3/28,信息與通信工程系,80,,,3.9 白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲,窄帶線性系統(tǒng)傳輸特性,白噪聲,,,窄帶噪聲功率譜密度,窄帶噪聲,2024/3/28,信息與通信工程系,81,,,例：理想窄帶系統(tǒng)輸出功率譜密 及自相關(guān)函數(shù)。,,0， 其它,功率譜密度,窄帶噪聲自相關(guān)函數(shù),3.9 白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲,自相關(guān)函數(shù),2024/3/

49、28,信息與通信工程系,82,,,3.9.1 窄帶噪聲的波形特征,白噪聲具有無(wú)窮的帶寬，而窄帶線性系統(tǒng)僅在中心頻率附近允許白噪聲通過(guò)。因此，白噪聲通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)時(shí)，實(shí)際上是窄帶線性系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲的選頻過(guò)程。其結(jié)果是輸出噪聲中僅有中心頻率附近的頻率分量，因此窄帶噪聲波形是一個(gè)頻率近似為f0 ，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。,窄帶噪聲波形的“準(zhǔn)正弦波”特性,2024/3/28,信息與通信工程系,83,,,窄帶噪聲時(shí)域表示式（1）,3.9.

50、1 窄帶噪聲的波形特征,顯然，由于噪聲的窄帶特性，包絡(luò)和相位的變化一定比載波的變化要緩慢得多。,式中， 和 分別為窄帶噪聲的包絡(luò)和相位，它們都是 隨機(jī)過(guò)程。,窄帶噪聲時(shí)域表示式（2）,（包絡(luò)和相位形式）,2024/3/28,信息與通信工程系,84,,,式中，,同相分量和正交分量在性質(zhì)上都是具有低通特性的隨機(jī)過(guò)程。,---同相分量,---正交分量,（同相、正交分量形式）,由上可知：窄帶噪聲的統(tǒng)計(jì)特性可以由包絡(luò)和

51、相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性確定。 反之，當(dāng)已知了窄帶噪聲的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，其包絡(luò)和相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性也可以確定下來(lái)。,3.9.1 窄帶噪聲的波形特征,2024/3/28,信息與通信工程系,85,,,分析前提： 假設(shè)輸入白噪聲是均值為零的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程， 由3.7節(jié)知，窄帶噪聲也是均值為零的平穩(wěn)高斯過(guò)程。,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,一、同相

52、分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性,同相、正交分量形式：,1. 均值,由窄帶噪聲的均值為零及平穩(wěn)特性，對(duì)任意的時(shí)間，都有上式成立，因此得,同相分量和正交分量是均值為零的隨機(jī)過(guò)程。,,,,2024/3/28,信息與通信工程系,86,,,在t1 及t2 時(shí)刻，同相分量和正交分量是服從高斯分布的隨機(jī)變量。,令 及 ，得,,,由于 是高斯隨機(jī)過(guò)程，因此，在任意時(shí)刻， 都是高斯隨機(jī)

53、變量。,2.自相關(guān)函數(shù),,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28,信息與通信工程系,87,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28,信息與通信工程系,88,,,由窄帶噪聲的平穩(wěn)特性，有,故,同相分量和正交分量都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,結(jié)論：同相分量和正交分量都是均值為零服從高斯分布 的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/

54、3/28,信息與通信工程系,89,,,重寫自相關(guān)函數(shù)式為,上式在 及 時(shí)，可寫為以下形式,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28,信息與通信工程系,90,,,上式表明，窄帶噪聲和它的同相分量及正交分量具有相同的方差或功率，即,上式中，當(dāng) 時(shí)，可得,由互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28,信息與

55、通信工程系,91,,,同理可得,由上可知， 和 是奇函數(shù)，因此有,上式表明，同相分量及正交分量在同一時(shí)刻是互不相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，因而，由正態(tài)（高斯）隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)可知，它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程。,綜上所述，窄帶噪聲的同相分量及正交分量是均值為零，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差或功率相同，且等于窄帶噪聲的方差或功率。,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28

56、,信息與通信工程系,92,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,二、 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,同相和正交分量一維概率密度函數(shù),它們的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,式中， 為窄帶噪聲的方差（功率）。,2024/3/28,信息與通信工程系,93,利用概率論中的雅可比行列式，可以由導(dǎo)出包絡(luò)和相位的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,式中， 為雅可比 (Jacobi) 行列式，且,

57、3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,2024/3/28,信息與通信工程系,94,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,代入雅可比 (Jacobi) 行列式，得,利用概率論中求邊際分布的方法，可分別得到包絡(luò)和相位的一維概率密度函數(shù),上式表明，窄帶噪聲的包絡(luò)服從瑞利（Rayleigh）分布。,2024/3/28,信息與通信工程系,95,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,上式表明，窄帶噪聲的相位服從

58、均勻分布。,包絡(luò)和相位分布特性,2024/3/28,信息與通信工程系,96,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,由于，,因此，包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的（一維分布）。,服從瑞利分布的窄帶噪聲的包絡(luò)特點(diǎn)：,（1） 時(shí)， 出現(xiàn)最大值。,（2）包絡(luò)的期望值為 ;,中位值：累積分布概率為50%時(shí)的包絡(luò)值，即滿足下式的值：,（3）包絡(luò)的中位值為

59、 。,2024/3/28,信息與通信工程系,97,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,（4）包絡(luò)的均方值為 ;,（5）包絡(luò)的方差為 。,2024/3/28,信息與通信工程系,98,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,

60、瑞利隨機(jī)信道：對(duì)流層散射信道、電離層反射信道 及移動(dòng)多徑信道等。,發(fā)射天線,接收天線,設(shè)發(fā)射信號(hào)是等幅正弦波，為,接收端得到的信號(hào)為,2024/3/28,信息與通信工程系,99,,,3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性,當(dāng)N很大時(shí)，它們是服從高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。,式中， ,

61、 。,接收信號(hào)為,實(shí)踐表明，與正弦信號(hào)相比，包絡(luò)和相位變化要緩慢得多，因此可視為一個(gè)窄帶隨機(jī)過(guò)程，并且一維概率密度函數(shù)分別服從瑞利分布和均勻分布。,式中， ， 分別為接收信號(hào)的包絡(luò)和相位。,--- 衰落信號(hào),2024/3/28,信息與通信工程系,100,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,以有用信號(hào)是正弦波為例， 合成信號(hào)形式為,,有用信號(hào),白噪聲,有用信號(hào),窄帶噪聲,為表達(dá)簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，

62、可選擇正弦波初始相位為零，這時(shí)上式可寫為,2024/3/28,信息與通信工程系,101,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,令 ， ，則上式為,--- 合成信號(hào)包絡(luò),---合成信號(hào)相位,式中，,由上節(jié)的結(jié)果可看出， 和 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。,且有 ：,---均值,---方差,2024/3/28,

63、信息與通信工程系,102,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,因此， 和 二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,利用上節(jié)相同的分析方法，可以得到包絡(luò)和相位的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,2024/3/28,信息與通信工程系,103,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,上式對(duì)相位求邊際積分，得到包絡(luò)的概率密度函數(shù)為,應(yīng)用第一類零階修正貝塞爾（Bessel）函數(shù)式,上式可寫為,---廣義瑞利分布或萊斯（Rice）

64、分布,2024/3/28,信息與通信工程系,104,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,對(duì)第一類零階修正貝塞爾函數(shù)來(lái)說(shuō)，x>>1 ，,因此，如果 A 值很大，滿足 時(shí)，有近似式,若將 代入上式，則有,--- 正態(tài)分布,如果A=0，則上式變?yōu)榘j(luò)服從瑞利分布。---上節(jié)結(jié)論,2024/3/28,信息與通信工程系,105,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,當(dāng)信

65、噪比很?。ˋ值很小，噪聲起主要作用）時(shí)，包絡(luò)服從瑞利分布。 當(dāng)信噪比很大（A值很大，信號(hào)起主要作用）時(shí)，包絡(luò)近似服從正態(tài)分布。 當(dāng)信噪比不大不小時(shí)，包絡(luò)服從廣義瑞利分布。,---廣義信噪比,合成波形包絡(luò)分布,合成信號(hào)的包絡(luò)分布與信道中的信噪比有關(guān)。,2024/3/28,信息與通信工程系,106,,,3.10 正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,相位的概率密度函數(shù)是對(duì)包絡(luò)求邊際積分的結(jié)果，這個(gè)積分非常復(fù)雜，這里不討論。

66、 相位分布也與信噪比有關(guān)，當(dāng)信噪比很小（A值很小，噪聲起主要作用）時(shí)，隨機(jī)相位接近均勻分布。 當(dāng)信噪比很大（A值很大，信號(hào)起主要作用）時(shí)，隨機(jī)相位主要集中在信號(hào)的相位附近。,2024/3/28,信息與通信工程系,107,,本章小結(jié),,隨機(jī)過(guò)程的基本概念 隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征（均值、方差及相關(guān)函數(shù)）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義、含義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)、與功率譜密度的關(guān)系兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系正態(tài)隨機(jī)過(guò)程定義、性質(zhì)