千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點問題(三)第100煉 利用同構(gòu)特點解決問題

1、第十二章第100煉利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點第100煉利用同構(gòu)特點解決問題一、基礎(chǔ)知識：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程??0fa???0fb?ab的兩個根??0fx?（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系。可比較大小或解不等式（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的

2、方程為同構(gòu)式，則為方????1122AxyBxyAB程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方AB程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與??nan的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解??11nan??二、典型例題：例1：（2015天津十二校聯(lián)考）設(shè)，滿足，則xyR?????????5512sin1312sin11xxxyyy???????????????（）xy??A

3、.B.C.D.0246思路：本題研究對象并非，而是，進而可變形為xy????11xy??，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進而可將相同的結(jié)????????????55121sin11121sin11xxxyyy??????????????????構(gòu)視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解解：????????5512sin1312sin11xxxyyy????????????????????????

4、????55121sin11121sin11xxxyyy??????????????????設(shè)，可得為奇函數(shù)，由題意可得：??52sinftttt?????ft第十二章第100煉利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點析其單調(diào)性。可得為增函數(shù)。所以??2200xxfxxxxx????????????fx，即，所以是充要條件()()abfafbabaabb答案：C例4：若，則（）1201xx???A.B.2121lnlnxxeexx???1221

5、lnlnxxeexx???C.D.1221xxxexe?1221xxxexe?答案：C思路：本題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將分居在不等式兩側(cè)后都12xx具備同構(gòu)的特點，所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在的單調(diào)??01性即可解：A選項：，設(shè)21212121lnlnlnlnxxxxeexxexex?????????lnxfxex??，設(shè)，則有恒成立，所??11xxxefxexx???????1xgxxe????

6、??10xgxxe???以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，??gx??01????010110gge????????001x?使得，由單調(diào)性可判斷出：??00gx?，所以在????????????00000100xxgxfxxxgxfx??????????fx不單調(diào)，不等式不會恒成立??01B選項：，設(shè)可知12122112lnlnlnlnxxxxeexxexex?????????lnxfxex??單調(diào)遞增。所以應(yīng)該，B錯誤??fx????1